L'essentiel en 30 secondes
- La négation de « tous » est « au moins un ne pas », pas « aucun ».
- Seule la contraposée d'une implication a la même valeur de vérité qu'elle ; la réciproque est une affirmation distincte.
- « Certains » affirme une existence, sans exclure que la propriété concerne en réalité tous les éléments.
- Deux prémisses ne se combinent que si leurs catégories se recoupent réellement : vérifiez toujours avec un contre-exemple.
Ce cours approfondit le sous-test 3 – Raisonnement & argumentation. Retrouvez toutes les notions dans le répertoire des cours du TAGE MAGE, puis appliquez le méthode de préparation autonome.
Le cours
1. Tous, certains, aucun : trois portées distinctes
« Tous les X sont Y » affirme une propriété universelle : chaque élément de X, sans exception, possède Y. « Aucun X n'est Y » affirme l'inverse universel : pas un seul élément de X ne possède Y. Entre les deux, « certains X sont Y » n'affirme qu'une existence : au moins un X possède Y, sans se prononcer sur les autres. Ces trois formes ne s'opposent pas deux à deux de façon symétrique : le contraire exact de « tous » n'est pas « aucun », mais « pas tous », c'est-à-dire « certains ne sont pas ».
2. Négations exactes : l'erreur la plus fréquente
Nier « tous les X sont Y » donne « il existe au moins un X qui n'est pas Y », formule souvent raccourcie en « certains X ne sont pas Y ». Nier « aucun X n'est Y » donne « il existe au moins un X qui est Y », c'est-à-dire « certains X sont Y ». Une négation qui bascule directement de « tous » à « aucun » est presque toujours fausse, car elle affirme beaucoup plus que ce que la négation logique autorise réellement.
3. Implication, contraposée, réciproque et inverse
Une implication « si A alors B » n'a qu'une seule reformulation strictement équivalente : sa contraposée, « si non B alors non A ». Les deux phrases décrivent exactement la même situation et sont donc toujours simultanément vraies ou simultanément fausses. La réciproque, « si B alors A », et l'inverse, « si non A alors non B », sont des affirmations logiquement distinctes : leur vérité doit être établie séparément, elle ne découle jamais automatiquement de l'implication de départ. Un distracteur classique consiste à présenter une réciproque comme si elle équivalait à l'implication donnée.
4. Combiner deux prémisses : la table des cas
Pour vérifier si une conclusion suit valablement de deux prémisses quantifiées, la méthode la plus sûre consiste à construire mentalement un cas concret qui respecte les deux prémisses mais contredit la conclusion proposée. Si un tel cas existe, la conclusion n'est pas valide, même si elle paraît intuitivement probable. « Tous les A sont B » et « certains B sont C » ne permettent pas de conclure que certains A sont C, car les C observés peuvent appartenir exclusivement à la partie de B qui ne contient aucun A.
La méthode pas à pas
- Identifiez le quantificateur exact de chaque prémisse : tous, certains, ou aucun.
- Reformulez la conclusion proposée en une phrase quantifiée précise.
- Cherchez un cas concret qui respecte les deux prémisses mais contredit la conclusion : s'il existe, la conclusion n'est pas valide.
- Pour une implication, identifiez si la proposition est la contraposée (valide) ou la réciproque/l'inverse (non valides).
- Ne retenez que la conclusion qui résiste à toute tentative de contre-exemple.
Trois QCM corrigés
Traitez chaque question en 75 secondes maximum avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1
On sait que « tous les membres du club d'échecs savent jouer au bridge » et que « certains membres du club d'échecs sont lycéens ». Que peut-on en conclure avec certitude ?
- A. Aucun lycéen ne sait jouer au bridge.
- B. Tous les lycéens savent jouer au bridge.
- C. Certains membres du club d'échecs, qui sont lycéens, savent jouer au bridge.
- D. Certains bridgeurs ne sont pas membres du club d'échecs.
- E. Aucun membre du club d'échecs n'est lycéen.
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Réponse : C. Table des cas : les lycéens en question appartiennent au club d'échecs (seconde prémisse), et tout membre du club d'échecs sait jouer au bridge (première prémisse). Ces lycéens précis savent donc jouer au bridge : c'est la seule conclusion qui découle nécessairement des deux prémisses, sans dépasser leur portée.
A contredit directement la conclusion valide. B généralise à tous les lycéens du monde, alors que seuls les lycéens membres du club sont concernés : construisez un lycéen extérieur au club, rien ne garantit qu'il joue au bridge. D introduit des bridgeurs extérieurs au club, non mentionnés dans les prémisses. E contredit frontalement la seconde prémisse.
Exercice 2
L'énoncé affirme : « Si une entreprise obtient la certification qualité, alors elle réduit son taux de retour produit. » Laquelle des propositions suivantes est nécessairement vraie ?
- A. Si une entreprise réduit son taux de retour produit, alors elle a obtenu la certification qualité.
- B. Si une entreprise n'obtient pas la certification qualité, alors elle ne réduit pas son taux de retour produit.
- C. Si une entreprise ne réduit pas son taux de retour produit, alors elle n'a pas obtenu la certification qualité.
- D. Si une entreprise obtient la certification qualité, alors elle augmente ses ventes.
- E. Certaines entreprises réduisent leur taux de retour produit sans aucune certification.
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Réponse : C. C est la contraposée exacte de l'implication donnée (« si non B alors non A »), donc strictement équivalente à elle : elle est nécessairement vraie.
A est la réciproque : une entreprise peut très bien réduire son taux de retour produit pour d'autres raisons que la certification, rien ne l'interdit. B est l'inverse de l'implication (« si non A alors non B »), tout aussi invalide que la réciproque : la certification n'est affirmée que comme suffisante, pas comme nécessaire. D introduit une conséquence sur les ventes, absente de l'énoncé. E n'est ni affirmée ni exclue par l'implication : elle décrit un cas possible, mais rien ne garantit qu'il se produise réellement, ce n'est donc pas une conclusion nécessaire.
Exercice 3
On sait que « aucun stagiaire non formé à la sécurité n'est autorisé à entrer sur le chantier » et que « certains ouvriers présents sur le chantier ne sont pas des stagiaires ». Que peut-on en conclure avec certitude ?
- A. Tous les ouvriers présents sur le chantier sont formés à la sécurité.
- B. Tout stagiaire présent sur le chantier est formé à la sécurité.
- C. Certains ouvriers présents sur le chantier ne sont pas formés à la sécurité.
- D. Aucun ouvrier non stagiaire n'est autorisé sur le chantier.
- E. Tous les stagiaires de l'entreprise sont formés à la sécurité.
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Réponse : B. La première prémisse équivaut par contraposée à « tout stagiaire présent sur le chantier est formé à la sécurité » : c'est une reformulation strictement équivalente de l'implication de départ, donc nécessairement vraie.
A généralise abusivement aux ouvriers non stagiaires, sur lesquels la première prémisse ne dit rien : construisez un ouvrier non stagiaire non formé, aucune prémisse ne l'exclut du chantier. C contredit directement B pour les stagiaires, et reste indémontrable pour les non-stagiaires. D inverse indûment la portée de la première prémisse, qui ne parle que des stagiaires non formés. E généralise à tous les stagiaires de l'entreprise, y compris ceux absents du chantier, alors que la prémisse ne concerne que ceux qui y sont autorisés.
Les pièges fréquents
- Nier « tous » par « aucun ». La négation exacte est « au moins un ne pas ».
- Confondre réciproque et contraposée. Seule la contraposée est logiquement équivalente à l'implication de départ.
- Sur-généraliser « certains ». Une existence affirmée pour un sous-groupe ne s'étend jamais à un groupe plus large non mentionné.
- Combiner deux prémisses sans recoupement garanti. Deux « certains » successifs ne se combinent presque jamais en une conclusion certaine.
- Oublier de chercher un contre-exemple. Une conclusion qui semble probable n'est valide que si aucun contre-exemple ne peut être construit.
Mémo des formes logiques
| Forme logique | Ce qu'on peut conclure | Conditions |
|---|---|---|
| Tous les X sont Y | Chaque X pris individuellement est Y | Aucune exception admise |
| Aucun X n'est Y | Pas un seul X n'est Y | Équivaut à « tous les X sont non-Y » |
| Certains X sont Y | Il existe au moins un X qui est Y | Compatible avec « tous les X sont Y » |
| Contraposée de « si A alors B » | Si non B alors non A | Toujours équivalente à l'implication de départ |
| Réciproque de « si A alors B » | Si B alors A | Non garantie, à démontrer séparément |
Mini-plan d'entraînement
- Jour 1 (15 min). Dix négations à formuler correctement pour des phrases contenant « tous », « aucun » et « certains ».
- Jour 2 (15 min). Dix implications : écrivez à chaque fois la contraposée, la réciproque et l'inverse, et identifiez laquelle est garantie.
- Jour 3 (20 min). Dix syllogismes à deux prémisses : cherchez systématiquement un contre-exemple avant de valider une conclusion.
- Jour 4 (20 min). Quinze QCM mêlant quantificateurs et implications, chronométrés à 75 secondes.
Questions fréquentes
Quelle est la négation exacte de « tous les X sont Y » ?
C'est « au moins un X n'est pas Y », jamais « aucun X n'est Y ». Cette dernière formulation est beaucoup plus forte que la simple négation et constitue une erreur fréquente au TAGE MAGE.
Pourquoi la contraposée est-elle toujours valide alors que la réciproque ne l'est pas ?
« Si A alors B » et « si non B alors non A » (la contraposée) disent exactement la même chose, seulement formulée à l'envers : elles ont la même valeur de vérité. La réciproque « si B alors A » est une affirmation distincte, qui peut être vraie ou fausse indépendamment de l'implication de départ.
Que signifie la portée existentielle de « certains » ?
« Certains X sont Y » affirme qu'il existe au moins un X qui est Y, sans préciser combien ni si tous les X le sont. Cette affirmation reste compatible avec « tous les X sont Y » : elle ne dit pas « certains seulement ».
Peut-on combiner deux prémisses avec des quantificateurs différents pour conclure ?
Oui, mais seulement si les catégories concernées se recoupent réellement. « Tous les A sont B » et « certains B sont C » ne permettent pas de conclure que certains A sont C : le C observé peut se trouver dans la partie de B qui n'a aucun rapport avec A.
Poursuivre avec
Hypothèse nécessaire et test de la négation
Isoler prémisses et conclusion, appliquer le test de la négation, distinguer nécessaire et suffisant.
Renforcer ou affaiblir un argument
Cause alternative, biais de sélection, variable confondante : ce qui touche vraiment le lien preuve-conclusion.
Connecteurs logiques et reformulation fidèle
Relations logiques, modalités et quantificateurs : reformuler sans durcir ni affaiblir le propos d'origine.
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Les conférences gratuites Aurlom entraînent la lecture rapide des quantificateurs et des implications sur des syllogismes inédits, en conditions chronométrées.
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Franck Attelan
Spécialiste du TAGE MAGE, auteur de La Bible du TAGE MAGE – 25 ans d'accompagnement des candidats.
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