L'essentiel
Le sous-test Calcul est le deuxième sous-test de l'épreuve : 15 questions à résoudre en 20 minutes, chacune proposant 5 réponses dont une seule est correcte. Il relève du domaine « aptitudes à la résolution de problèmes », au même titre que le sous-test Conditions minimales (détail des sous-tests). Les énoncés mobilisent un socle de mathématiques de niveau lycée – pourcentages, proportions, moyennes, vitesses, débits, équations, arithmétique, géométrie, probabilités – mais la difficulté réelle vient de la vitesse d'exécution, pas de la complexité des notions. Réussir ce sous-test suppose d'automatiser des raccourcis de calcul (coefficients multiplicateurs, simplifications avant multiplication), de savoir reconnaître en quelques secondes la famille d'un énoncé, et de ne jamais laisser de question sans réponse puisqu'une erreur n'est pas pénalisée.
Format et consigne du sous-test
Comme les cinq autres blocs de l'épreuve, le sous-test Calcul comporte 15 questions et dure 20 minutes, soit une moyenne de 80 secondes par question – un repère pédagogique pour caler son rythme, pas un chronomètre à respecter question par question. Chaque question présente un court énoncé chiffré suivi de 5 propositions numériques ou littérales, une seule étant exacte. Le temps n'est pas transférable depuis le sous-test précédent (Compréhension de textes) ni vers le suivant (Raisonnement / Argumentation) : chaque bloc se joue intégralement pour lui-même (présentation générale).
Les erreurs n'étant pas pénalisées et l'absence de réponse n'apportant aucune protection, la seule stratégie rationnelle est de répondre à toutes les questions avant la fin des 20 minutes, y compris par élimination lorsque le calcul complet n'a pas été mené à son terme.
Compétences évaluées
Le sous-test ne vérifie pas des connaissances théoriques mais la capacité à traduire un texte en équation, à choisir le raccourci de calcul le plus rapide et à contrôler la vraisemblance d'un résultat par ordre de grandeur. Trois compétences reviennent dans presque tous les énoncés :
- Modélisation. Transformer une situation concrète (prix, trajet, mélange, urne) en expression algébrique ou en schéma exploitable.
- Calcul rapide et sûr. Manier coefficients multiplicateurs, fractions, puissances de 10 et simplifications sans passer par des étapes intermédiaires inutiles.
- Contrôle du résultat. Vérifier qu'une réponse est cohérente avec l'ordre de grandeur de l'énoncé, ce qui permet souvent d'éliminer 3 propositions sur 5 sans calcul complet.
Typologie détaillée des exercices
| Famille | Ce qui est testé | Piège classique |
|---|---|---|
| Pourcentages successifs | Coefficients multiplicateurs, augmentation puis diminution, retour à la valeur initiale | Additionner les taux au lieu de multiplier les coefficients |
| Proportions et mélanges | Répartition de quantités, dosages, règles de trois enchaînées | Confondre proportion d'un sous-groupe et proportion du total |
| Moyennes pondérées | Moyenne de groupes d'effectifs différents | Faire une moyenne simple des moyennes sans tenir compte des coefficients |
| Vitesses et conversions | Passage km/h ↔ m/s, temps de trajet, vitesse moyenne sur un aller-retour | Faire la moyenne arithmétique des vitesses au lieu de raisonner sur les temps |
| Travail et débits | Addition de débits, temps de réalisation à plusieurs | Additionner des temps au lieu d'additionner des débits |
| Équations et systèmes | Mise en équation d'un énoncé, résolution à une ou deux inconnues | Poser une équation qui ne traduit pas fidèlement l'énoncé |
| Arithmétique et fractions | Divisibilité, PGCD/PPCM implicites, simplification de fractions | Simplifier une fraction après l'avoir développée au lieu d'avant |
| Géométrie | Pythagore, aires de figures usuelles, volumes simples | Confondre périmètre et aire, ou oublier une unité au carré ou au cube |
| Probabilités | Probabilités élémentaires, tirages successifs, probabilités conditionnelles simples | Oublier que la seconde probabilité change si le tirage est sans remise |
Méthode pas à pas
- Identifier la famille en une lecture. Un mot clé (« pourcentage », « ensemble », « moyenne », « probabilité que ») oriente immédiatement vers la méthode à appliquer.
- Traduire l'énoncé en une seule expression. Poser une variable, un coefficient multiplicateur ou un débit, sans chercher à tout résoudre mentalement d'un coup.
- Choisir le raccourci le plus rapide plutôt que la méthode « scolaire » : un coefficient multiplicateur remplace deux étapes de calcul de pourcentage, une somme de débits remplace un système à deux équations.
- Calculer en contrôlant l'ordre de grandeur à chaque étape, pour repérer une erreur de signe ou de puissance de 10 avant d'arriver au résultat final.
- Confronter le résultat aux 5 propositions : si aucune ne correspond, l'erreur est presque toujours dans la mise en équation, pas dans le calcul.
Cinq exercices corrigés
Exercice 1 – Pourcentages successifs
Le prix d'un article augmente de 30 %, puis, lors des soldes suivantes, diminue de 30 % par rapport à son nouveau prix. Par rapport au prix initial, le prix final a :
- A. augmenté de 9 %
- B. diminué de 9 %
- C. retrouvé sa valeur initiale
- D. diminué de 6 %
- E. augmenté de 6 %
Voir la correction détaillée
Une augmentation de 30 % correspond au coefficient multiplicateur 1,30 ; une diminution de 30 % correspond au coefficient 0,70. Les deux variations se composent en multipliant les coefficients, pas en additionnant les taux.
Coefficient global : 1,30 × 0,70 = 0,91. Le prix final vaut donc 91 % du prix initial, soit une baisse nette de 9 %. L'erreur la plus fréquente consiste à croire que +30 % puis −30 % ramènent au prix de départ : c'est faux dès que les deux taux ne s'appliquent pas à la même base. Rappel de contrôle : 80 augmenté de 25 % (coefficient 1,25) puis diminué de 20 % (coefficient 0,80) redonne exactement 80, car 1,25 × 0,80 = 1 – deux taux différents peuvent donc s'annuler exactement, mais ce n'est pas le cas ici avec deux fois 30 %.
Réponse : B – diminué de 9 %.
Exercice 2 – Travail et débits
Un premier robinet peut remplir seul un bassin en 4 heures, un second robinet peut remplir seul le même bassin en 12 heures. En supposant les débits constants, en combien de temps remplissent-ils le bassin ensemble ?
- A. 2 heures
- B. 3 heures
- C. 4 heures
- D. 6 heures
- E. 8 heures
Voir la correction détaillée
Le réflexe correct consiste à additionner les débits, exprimés en fraction du bassin par heure, et non les temps. Le premier robinet remplit 1/4 du bassin par heure, le second 1/12 du bassin par heure.
Débit cumulé : 1/4 + 1/12 = 3/12 + 1/12 = 4/12 = 1/3 du bassin par heure. Le temps pour remplir le bassin entier est l'inverse de ce débit : 1 ÷ (1/3) = 3 heures.
Le même mécanisme s'applique à tout couple de travailleurs à débits constants, égaux ou non : deux ouvriers effectuant seuls la même tâche en 6 h et en 3 h la réalisent ensemble en 2 h, puisque 1/6 + 1/3 = 1/2 de la tâche par heure. C'est toujours la somme des débits qui se calcule, jamais la moyenne des durées.
Réponse : B – 3 heures.
Exercice 3 – Vitesse moyenne
Une voiture parcourt 180 km à la vitesse constante de 90 km/h, puis 180 km supplémentaires à la vitesse constante de 60 km/h. Quelle est la vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet ?
- A. 60 km/h
- B. 70 km/h
- C. 72 km/h
- D. 75 km/h
- E. 80 km/h
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La vitesse moyenne sur un trajet composé de plusieurs portions n'est pas, en général, la moyenne arithmétique des vitesses : elle vaut toujours la distance totale divisée par le temps total. Elle coïncide avec la moyenne arithmétique dans un cas précis – lorsque les durées passées à chaque vitesse sont égales – et devient une moyenne harmonique lorsque ce sont les distances parcourues qui sont égales. Repérez donc d'abord ce que l'énoncé donne comme identique : des durées ou des distances.
Temps de la première portion : 180 ÷ 90 = 2 h. Temps de la seconde portion : 180 ÷ 60 = 3 h. Distance totale : 360 km. Temps total : 5 h. Vitesse moyenne : 360 ÷ 5 = 72 km/h.
Le même mécanisme s'applique au cas de référence : 120 km parcourus à 60 km/h puis 120 km parcourus à 120 km/h donnent une vitesse moyenne de 80 km/h (temps 2 h + 1 h = 3 h, distance 240 km, 240 ÷ 3 = 80), et non la moyenne arithmétique 90 km/h qu'on obtiendrait à tort en moyennant simplement 60 et 120.
Réponse : C – 72 km/h.
Exercice 4 – Probabilité conditionnelle
Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules bleues, indiscernables au toucher. On tire successivement deux boules sans remise. Sachant que la première boule tirée est bleue, quelle est la probabilité que la seconde boule tirée soit également bleue ?
- A. 3/28
- B. 1/4
- C. 2/7
- D. 3/8
- E. 5/7
Voir la correction détaillée
Il s'agit d'une probabilité conditionnelle : la première boule bleue n'est pas remise dans l'urne, ce qui modifie sa composition pour le second tirage. Avant le premier tirage, l'urne contient 8 boules (5 rouges, 3 bleues).
Après avoir sorti une boule bleue, il reste 7 boules dans l'urne, dont 3 − 1 = 2 boules bleues. La probabilité que la seconde boule soit bleue, sachant la première bleue, est donc 2/7.
Le piège classique est de conserver la proportion initiale (3/8) comme si le tirage se faisait avec remise, ou de calculer la probabilité conjointe des deux tirages (3/8 × 2/7 = 3/28) au lieu de la probabilité conditionnelle demandée.
Réponse : C – 2/7.
Exercice 5 – Géométrie
Un champ rectangulaire a une longueur de diagonale de 10 mètres et une largeur de 6 mètres. Quelle est l'aire de ce champ ?
- A. 30 m²
- B. 40 m²
- C. 48 m²
- D. 64 m²
- E. 80 m²
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Un rectangle, sa diagonale et l'un de ses côtés forment un triangle rectangle : la diagonale est l'hypoténuse. Le théorème de Pythagore permet de retrouver la longueur manquante.
Longueur² = diagonale² − largeur² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, donc longueur = 8 mètres. (On reconnaît le triplet pythagoricien 6-8-10, multiple de 3-4-5.)
Aire du rectangle = longueur × largeur = 8 × 6 = 48 m². L'erreur fréquente consiste à utiliser 10 m directement comme un côté du rectangle, ou à calculer le demi-produit des diagonales – souvent appelée formule du losange – qui donnerait ici 10 × 10 ÷ 2 = 50 m². Cette formule vaut en réalité pour tout quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires (losange, cerf-volant, carré) ; elle n'est donc pas applicable à un rectangle quelconque, dont les diagonales ne se coupent pas à angle droit.
Réponse : C – 48 m².
Erreurs fréquentes
La première erreur, et la plus coûteuse, consiste à traiter deux pourcentages successifs comme des quantités qui s'additionnent. Un taux ne s'additionne qu'à un autre taux appliqué à la même base ; dès que la seconde variation porte sur une valeur déjà modifiée, il faut multiplier des coefficients multiplicateurs. C'est pourquoi 80 augmenté de 25 % puis diminué de 20 % redonne exactement 80 : les coefficients 1,25 et 0,80 sont inverses l'un de l'autre, alors qu'une lecture rapide laisserait croire à une hausse nette de 5 %.
La deuxième erreur touche les vitesses moyennes : moyenner arithmétiquement deux vitesses n'est valable que si les deux portions durent le même temps, ce qui est rarement le cas dans les énoncés. Il faut systématiquement repasser par les temps de trajet, calculés séparément, avant de diviser la distance totale par le temps total.
La troisième erreur porte sur les débits : additionner des temps de réalisation au lieu d'additionner des débits inverse totalement la logique du problème. Deux ouvriers qui mettent 6 h et 3 h pour un même travail ne mettent pas 9 h à deux, ni la moyenne de 4,5 h, mais 2 h, parce que ce sont les débits (1/6 et 1/3 de tâche par heure) qui s'additionnent.
Enfin, sur les moyennes pondérées, l'erreur consiste à faire la moyenne simple des moyennes de groupe sans tenir compte des effectifs. Une classe de 2 élèves à 12 de moyenne et une classe de 3 élèves à 15 de moyenne ne donnent pas 13,5 mais 13,8 : (12 × 2 + 15 × 3) ÷ 5 = 69 ÷ 5 = 13,8, le groupe le plus nombreux pesant davantage dans la moyenne globale.
Plan d'entraînement concret
- Semaine 1 : fiches de raccourcis (coefficients multiplicateurs, débits, moyennes pondérées) puis 3 séries de 10 questions non chronométrées, une famille à la fois.
- Semaine 2 : mélange des familles dans une même série de 15 questions, chronométrée à 20 minutes, avec dépouillement systématique des erreurs par famille.
- Semaine 3 : séries enchaînées avec un autre sous-test de résolution de problèmes (Conditions minimales) pour reproduire l'alternance réelle de l'épreuve.
- Semaine 4 : reprise ciblée des deux ou trois familles les plus coûteuses identifiées dans le carnet d'erreurs, puis un test complet en conditions réelles.
Stratégie des 20 minutes
80 secondes par question en moyenne est un repère, pas une règle stricte : une question de vitesse moyenne bien identifiée se résout souvent en 30 secondes et finance une équation à deux inconnues plus longue. Un bon indicateur de rythme est d'avoir traité environ la moitié des 15 questions au bout de 10 minutes. Si un calcul s'enlise au-delà d'une minute environ, mieux vaut éliminer les propositions aberrantes par ordre de grandeur, cocher la plus plausible et avancer : la question suivante rapporte le même point, et aucune pénalité ne sanctionne une réponse fausse. Les 30 dernières secondes du bloc doivent être réservées à la vérification qu'aucune des 15 questions n'est restée sans réponse.
Mémo des formules utiles
- Coefficient multiplicateur : une variation de t % correspond au coefficient (1 + t/100) si t est positif, (1 − |t|/100) si t est négatif. Deux variations successives se composent en multipliant les coefficients : C = (1 + t₁/100)(1 + t₂/100). Valable pour toute succession de variations en pourcentage, quel que soit leur signe.
- Taux inverse (retour à la valeur initiale) : pour annuler une variation de coefficient C, il faut appliquer le coefficient 1/C. Une hausse de 25 % (coefficient 1,25) est annulée par une baisse de 20 % (coefficient 0,80), car 1,25 × 0,80 = 1.
- Moyenne pondérée : pour des groupes d'effectifs n₁, n₂, … et de moyennes m₁, m₂, …, la moyenne globale vaut (n₁m₁ + n₂m₂ + …) / (n₁ + n₂ + …). Valable dès que les effectifs sont connus ; ne pas confondre avec la moyenne simple des moyennes.
- Conversion de vitesse : pour passer de km/h à m/s, diviser par 3,6 ; pour passer de m/s à km/h, multiplier par 3,6 (car 1 km/h = 1000 m / 3600 s).
- Vitesse moyenne sur un trajet en plusieurs portions : v_moyenne = distance totale / temps total. Si les distances des portions sont égales mais les vitesses différentes, cela équivaut à une moyenne harmonique des vitesses, strictement inférieure à leur moyenne arithmétique. Si ce sont les durées qui sont égales, la moyenne arithmétique des vitesses redonne, elle, le bon résultat.
- Débits : si un débit d₁ (tâche par unité de temps) et un débit d₂ agissent ensemble, le débit cumulé est d₁ + d₂, et le temps pour réaliser une tâche entière est 1 / (d₁ + d₂). Valable sous l'hypothèse de débits constants et indépendants.
- Pythagore : dans un triangle rectangle d'hypoténuse c et de côtés a et b, a² + b² = c². Valable uniquement si l'angle droit est bien identifié entre les côtés a et b.
- Aires usuelles : rectangle L × l ; triangle (base × hauteur) / 2 ; disque π × r². Volumes : cube a³ ; parallélépipède L × l × h. Toujours exprimer le résultat dans l'unité au carré ou au cube cohérente avec les données.
- Probabilité conditionnelle : P(B sachant A) = P(A et B) / P(A), avec P(A) > 0. Dans un tirage sans remise, la composition de l'ensemble change après chaque tirage, ce qui modifie les probabilités des événements suivants.
Questions fréquentes
Faut-il connaître des formules de géométrie complexes pour le sous-test Calcul ?
Pourquoi ma vitesse moyenne calculée est-elle presque toujours fausse ?
Le calcul mental suffit-il ou faut-il poser les opérations ?
Comment gérer une question de calcul qui bloque ?
Le sous-test Calcul est-il indépendant du sous-test Conditions minimales ?
Approfondir ce sous-test
Des cours ciblés reprennent chaque notion en détail, avec méthode pas à pas, QCM corrigés et mémo des formules.
- Pourcentages et variations successives – Coefficients multiplicateurs, variations successives, taux inverse et différence entre pourcentage et point.
- Fractions, proportions et partages – Manipuler des fractions sans calculatrice, passer d'un rapport à une proportion, répartir une quantité.
- Moyennes pondérées et moyenne globale – Effectifs, coefficients, reconstitution d'une moyenne globale et pièges de la moyenne des moyennes.
- Vitesses, distances et temps – Conversions d'unités, problèmes de rencontre et de rattrapage, vitesse moyenne sur un aller-retour.
- Débits, remplissage et travail collectif – Additionner des débits constants, gérer une vidange simultanée et calculer un travail réalisé à plusieurs.
- Mise en équation et problèmes d'âges – Traduire un énoncé en équations, poser les bonnes inconnues et résoudre un système avec contraintes.
- Divisibilité, PGCD et nombres premiers – Critères de divisibilité, décomposition en facteurs premiers, PGCD et PPCM appliqués aux énoncés du test.
- Géométrie : aires, volumes et échelles – Pythagore, aires et volumes usuels, et l'effet d'un agrandissement sur les longueurs, les aires et les volumes.
- Probabilités et dénombrement – Équiprobabilité, indépendance contre conditionnement, tirages avec ou sans remise, ordre pris en compte ou non.
Sous-test 1
Compréhension de textes
Lire vite et juste : repérage explicite, inférence contrôlée, thèse, structure et ton d'un texte argumentatif.
Sous-test 3
Raisonnement & argumentation
Identifier prémisses et conclusion, hypothèse nécessaire, renforcement, affaiblissement, quantificateurs et implications.
Vue d'ensemble
Le guide complet du TAGE MAGE
Format de l'épreuve, notation actuelle, programme de préparation et méthode de diagnostic.
Conférences gratuites Aurlom
Franck Attelan anime plusieurs conférences gratuites avant la prochaine session. L'une d'elles détaille précisément les raccourcis de calcul les plus rentables pour le sous-test Calcul.
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Franck Attelan
Spécialiste du TAGE MAGE, auteur de La Bible du TAGE MAGE – 25 ans d'accompagnement des candidats.
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