L'essentiel en 30 secondes
- Un contre-exemple est un exemple valide (compatible avec l'énoncé) qui produit une réponse différente d'un autre exemple tout aussi valide.
- Un seul contre-exemple suffit à prouver qu'une information ne permet pas de répondre de façon certaine.
- Le domaine autorisé (entiers, positifs, relatifs) délimite les contre-exemples recevables : ne testez que ce que l'énoncé n'exclut pas.
- Les candidats à tester en priorité : zéro, un nombre négatif, un nombre non entier, un cas d'égalité.
Ce cours approfondit le sous-test 4 – Conditions minimales. Retrouvez toutes les notions dans le répertoire des cours du TAGE MAGE, puis appliquez le méthode du carnet d'erreurs.
Le cours
1. Rappel du codage des cinq réponses
Chaque question du sous-test Conditions minimales propose une question, puis deux informations numérotées (1) et (2), et cinq propositions qui codifient toujours la même grille de lecture : la réponse A signifie que l'information (1) seule suffit et que l'information (2) seule ne suffit pas ; la réponse B signifie l'inverse, l'information (2) seule suffit et l'information (1) seule ne suffit pas ; la réponse C signifie qu'aucune des deux ne suffit séparément mais que les deux ensemble suffisent ; la réponse D signifie que chacune des deux informations suffit séparément ; la réponse E signifie que les deux informations, même combinées, ne suffisent pas. Le contre-exemple est l'outil qui permet de choisir entre ces cinq issues sans jamais calculer une valeur finale inutile.
2. Construire un contre-exemple en pratique
Construire un contre-exemple, c'est chercher deux situations qui respectent à la fois l'énoncé général et l'information testée, mais qui donnent deux réponses différentes à la question posée. Si l'énoncé demande « x est-il positif ? » et que l'information testée est « x² = 9 », deux valeurs conviennent : x = 3 (positif) et x = −3 (négatif). Ces deux valeurs vérifient x² = 9, et pourtant elles répondent différemment à la question : l'information est donc prouvée insuffisante, sans qu'il soit besoin d'aller plus loin.
La rigueur de cette méthode dépend entièrement du respect du domaine énoncé. Si l'énoncé avait précisé « x est un entier strictement positif », le contre-exemple x = −3 serait invalide, car incompatible avec l'énoncé, et l'information « x² = 9 » deviendrait alors suffisante (seule x = 3 resterait possible).
3. Les terrains de chasse classiques
Quatre familles de valeurs méritent d'être testées en priorité, chaque fois que l'énoncé ne les exclut pas explicitement : le zéro, qui annule des produits et rend certaines égalités vraies dans des cas inattendus ; les nombres négatifs, qui inversent le sens d'une inégalité lors d'une multiplication ou qui changent le signe d'un carré ; les nombres non entiers, qui invalident des raisonnements pensés uniquement sur des entiers ; et les cas d'égalité, qui transforment une inégalité stricte en situation limite.
4. Toujours tester (1) et (2) séparément avant de les combiner
La méthode du contre-exemple s'applique d'abord à (1) seule, en ignorant totalement (2), puis à (2) seule, en ignorant totalement (1). Ce n'est que si aucune des deux ne suffit séparément qu'il faut chercher un contre-exemple à la combinaison des deux informations. Si un contre-exemple trouvé pour (1) seule reste valide même en ajoutant (2), alors les deux informations ensemble restent insuffisantes.
La méthode pas à pas
- Reformulez la question en une phrase précise : quelle réponse unique doit-on pouvoir affirmer ?
- Notez le domaine exact des variables (entiers, positifs, relatifs, non nuls…) fixé par l'énoncé.
- Pour l'information (1) seule, cherchez deux valeurs compatibles avec l'énoncé et avec (1) qui donnent deux réponses différentes.
- Répétez la même recherche pour l'information (2) seule, indépendamment de (1).
- Si aucun contre-exemple n'est trouvé pour l'une des deux informations, concluez à sa suffisance ; sinon, testez la combinaison des deux.
- Choisissez le code de réponse correspondant à ce qui a été démontré, sans pousser le calcul plus loin.
Trois QCM corrigés
Rappel du codage utilisé dans les cinq propositions de chaque question : A = l'information (1) seule suffit ; B = l'information (2) seule suffit ; C = les deux ensemble seulement ; D = chacune séparément suffit ; E = les deux ensemble restent insuffisantes.
Exercice 1
x est un nombre réel. A-t-on x > 0 ?
(1) x² > 1.
(2) x³ > 0.
- A. L'information (1) seule permet de répondre à la question, mais l'information (2) seule ne le permet pas.
- B. L'information (2) seule permet de répondre à la question, mais l'information (1) seule ne le permet pas.
- C. Les deux informations ensemble permettent de répondre, mais aucune des deux séparément ne le permet.
- D. Chacune des deux informations, prise séparément, permet de répondre à la question.
- E. Les deux informations, même prises ensemble, ne permettent pas de répondre à la question.
Voir la correction détaillée
Réponse : B.
(1) seule : x² > 1 est vérifié aussi bien par x = 2 (positif) que par x = −2 (négatif), puisque (−2)² = 4 > 1. Ces deux valeurs sont toutes deux compatibles avec l'énoncé (x réel, aucune restriction de signe) et donnent deux réponses différentes à la question. Contre-exemple établi : (1) seule ne suffit pas.
(2) seule : pour tout réel x, x³ garde le même signe que x. Donc x³ > 0 impose nécessairement x > 0, sans aucune exception possible. La réponse est toujours « oui » : (2) seule suffit.
(2) seule suffit, (1) seule ne suffit pas : la réponse est B. La proposition A inverserait ce constat. La proposition C et la proposition D ignorent que (1) admet un contre-exemple explicite. La proposition E est fausse puisque (2) seule suffit déjà.
Exercice 2
n est un entier relatif. Le nombre n est-il pair ?
(1) n est un multiple de 6.
(2) n / 2 est un nombre entier.
- A. L'information (1) seule permet de répondre à la question, mais l'information (2) seule ne le permet pas.
- B. L'information (2) seule permet de répondre à la question, mais l'information (1) seule ne le permet pas.
- C. Les deux informations ensemble permettent de répondre, mais aucune des deux séparément ne le permet.
- D. Chacune des deux informations, prise séparément, permet de répondre à la question.
- E. Les deux informations, même prises ensemble, ne permettent pas de répondre à la question.
Voir la correction détaillée
Réponse : D.
(1) seule : tout multiple de 6 s'écrit n = 6k avec k entier relatif, donc n = 2 × (3k), qui est bien un multiple de 2. La réponse est toujours « oui », sans exception : (1) seule suffit.
(2) seule : dire que n / 2 est un entier équivaut exactement à dire que n est divisible par 2, c'est-à-dire pair. La réponse est toujours « oui » également : (2) seule suffit aussi, indépendamment de (1).
Chaque information suffit séparément à répondre : la réponse est D. La proposition A et la proposition B ne retiennent qu'une seule des deux informations comme suffisante, alors que les deux le sont. La proposition C nie à tort la suffisance individuelle de chacune. La proposition E est incompatible avec les deux démonstrations qui précèdent.
Exercice 3
x et y sont deux nombres réels. A-t-on x × y > 0 ?
(1) x > 0.
(2) y ≠ 0.
- A. L'information (1) seule permet de répondre à la question, mais l'information (2) seule ne le permet pas.
- B. L'information (2) seule permet de répondre à la question, mais l'information (1) seule ne le permet pas.
- C. Les deux informations ensemble permettent de répondre, mais aucune des deux séparément ne le permet.
- D. Chacune des deux informations, prise séparément, permet de répondre à la question.
- E. Les deux informations, même prises ensemble, ne permettent pas de répondre à la question.
Voir la correction détaillée
Réponse : E.
(1) seule : x > 0 ne dit rien sur y. Avec x = 1 et y = 1, x × y = 1 > 0 ; avec x = 1 et y = −1, x × y = −1 < 0. Deux réponses différentes : (1) seule ne suffit pas.
(2) seule : y ≠ 0 ne dit rien sur x ni sur le signe de y. Avec x = 1 et y = 1, x × y > 0 ; avec x = −1 et y = 1, x × y = −1 < 0. (2) seule ne suffit pas.
Ensemble : même en sachant x > 0 et y ≠ 0, y peut être positif ou négatif. Le contre-exemple x = 1, y = −1 (qui vérifie x > 0 et y ≠ 0) donne x × y < 0, tandis que x = 1, y = 1 (qui vérifie aussi les deux informations) donne x × y > 0. Deux réponses différentes malgré la combinaison des deux informations : elles restent insuffisantes ensemble, la réponse est E.
Les pièges fréquents
- Oublier de vérifier le domaine. Un contre-exemple négatif ou non entier n'est valable que si l'énoncé ne l'exclut pas.
- S'arrêter à un seul exemple qui « marche ». Un exemple ne prouve rien seul ; il faut chercher activement un second exemple qui contredit le premier.
- Contaminer une information par l'autre. Tester (1) en tenant compte, même inconsciemment, de (2) fausse tout le raisonnement.
- Confondre « pas de contre-exemple trouvé » et « pas de contre-exemple possible ». Ne pas trouver immédiatement ne prouve pas la suffisance : il faut une démonstration, pas seulement un essai infructueux.
- Pousser le calcul jusqu'à une valeur finale alors que la seule preuve d'unicité suffisait déjà à répondre.
Mémo des règles
| Situation | Ce que prouve un contre-exemple | Condition de validité |
|---|---|---|
| Deux exemples valides, deux réponses différentes | L'information testée ne suffit pas | Les deux exemples doivent respecter le domaine de l'énoncé |
| Aucun contre-exemple trouvé après recherche systématique (zéro, négatif, non entier, égalité) | Présomption forte de suffisance | À confirmer par une démonstration générale si possible |
| Contre-exemple valable pour (1) seule et toujours valable en ajoutant (2) | Les deux informations ensemble restent insuffisantes | Le contre-exemple doit vérifier (1), (2) et l'énoncé simultanément |
Mini-plan d'entraînement
- Jour 1 (15 min). Dix questions fermées (oui/non), en cherchant systématiquement un contre-exemple avec un nombre négatif.
- Jour 2 (15 min). Dix questions où le domaine (entiers, positifs) change la validité d'un même contre-exemple.
- Jour 3 (15 min). Cinq questions à traiter en isolant strictement (1) puis (2), sans jamais les mélanger.
- Jour 4 (20 min). Dix questions complètes, chronométrées à 75 secondes chacune, avec relecture du domaine avant toute recherche de contre-exemple.
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'un contre-exemple, exactement ?
C'est un exemple concret, compatible avec l'énoncé et avec l'information testée, qui produit une réponse différente d'un autre exemple tout aussi compatible. Dès que deux exemples valides donnent deux réponses différentes à la question posée, l'information testée est prouvée insuffisante, sans qu'aucun autre calcul ne soit nécessaire.
Pourquoi le domaine des nombres (entiers, positifs, relatifs) est-il si important ?
Parce qu'un contre-exemple n'est valable que s'il respecte toutes les contraintes énoncées. Si l'énoncé précise que x est un entier strictement positif, un contre-exemple utilisant un nombre négatif ou non entier est invalide. À l'inverse, si rien n'exclut les nombres négatifs, nuls ou non entiers, ce sont précisément les premiers candidats à tester.
Faut-il chercher un contre-exemple même quand une information paraît évidemment suffisante ?
Oui, systématiquement, le temps de quelques secondes. Beaucoup d'informations qui semblent suffisantes à la lecture échouent sur un cas limite (zéro, un nombre négatif, une égalité) que l'énoncé n'a pas explicitement exclu. Cette vérification rapide évite l'essentiel des erreurs de ce sous-test.
Un seul contre-exemple suffit-il à éliminer une information ?
Oui, un seul contre-exemple valide suffit à prouver qu'une information ne permet pas de répondre de façon certaine et unique. Il est inutile d'en chercher un second : la certitude est déjà acquise dès qu'une information autorise deux réponses différentes.
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Tous, certains, aucun : ce qu'une implication autorise à conclure, et ce que sa contraposée garantit.
Conférences gratuites Aurlom
Les conférences gratuites Aurlom détaillent en direct la méthode du contre-exemple, avec un mini test blanc chronométré en conditions réelles.
- Aurlom × SKEMA – Mardi 10 novembre 2026, 18h00 → 20h00 · SKEMA Business School
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Franck Attelan
Spécialiste du TAGE MAGE, auteur de La Bible du TAGE MAGE – 25 ans d'accompagnement des candidats.
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