L'essentiel en 30 secondes
- Choisissez l'inconnue la plus simple à exprimer, puis exprimez tout le reste en fonction d'elle.
- Traduisez chaque phrase de l'énoncé par une équation séparée, dans l'ordre du texte.
- « Dans n ans » ou « il y a n ans » décale tous les âges de la même quantité n.
- Vérifiez toujours que la solution respecte le domaine : entiers positifs, souvent strictement.
Ce cours approfondit le sous-test 2 – Calcul. Retrouvez toutes les notions dans le répertoire des cours du TAGE MAGE, puis appliquez le parcours de remise à niveau en mathématiques.
Le cours
1. Choisir les bonnes inconnues
La première décision, avant tout calcul, consiste à nommer les quantités inconnues. La règle d'or est d'en poser le moins possible : si deux grandeurs sont liées par une relation simple (l'une est le double, le triple ou une fraction de l'autre), une seule inconnue suffit, l'autre s'exprimant directement en fonction d'elle. Poser deux inconnues quand une seule suffit ne rend pas le problème faux, mais alourdit inutilement les calculs et augmente le risque d'erreur.
Choisissez de préférence l'inconnue qui rend les autres expressions les plus simples possibles. Dans un problème d'âges où le père a le triple de l'âge du fils, notez l'âge du fils x plutôt que l'âge du père : l'âge du père s'écrit alors 3x, une expression plus légère que x/3.
2. Traduire phrase par phrase
Chaque phrase de l'énoncé porte en général une seule information exploitable. La méthode la plus sûre consiste à traiter le texte dans l'ordre, phrase après phrase, en écrivant une équation à chaque fois qu'une relation chiffrée apparaît. Ne cherchez jamais à deviner la structure globale avant d'avoir traduit chaque information séparément : c'est en confrontant les équations obtenues que la solution apparaît.
Soyez attentif aux mots qui indiquent une opération précise : « de plus que » signale une addition, « de moins que » une soustraction, « autant de fois que » une multiplication, « la somme » et « la différence » désignent sans ambiguïté l'opération à effectuer entre deux quantités déjà nommées.
3. Le cas particulier des problèmes d'âges
Les problèmes d'âges reposent tous sur une propriété unique : l'écart d'âge entre deux personnes reste constant au fil du temps, alors que leur rapport d'âge, lui, varie. Si le père a aujourd'hui 30 ans de plus que son fils, il aura toujours 30 ans de plus dans dix ans, dans vingt ans ou dans le passé ; en revanche, un rapport de « trois fois plus âgé » aujourd'hui ne sera plus de trois fois dans dix ans.
Un décalage temporel de n années s'applique de façon identique à tous les protagonistes : on ajoute n à chaque âge actuel pour parler du futur, on retranche n pour parler du passé. Oublier de décaler l'un des deux âges est l'erreur la plus fréquente sur ce type de question.
4. La contrainte de domaine, dernier filtre indispensable
Un système d'équations peut admettre une solution mathématiquement correcte mais physiquement absurde : un âge négatif, un nombre d'objets non entier, un effectif fractionnaire. Au TAGE MAGE, les grandeurs comptées (personnes, objets, années) sont des entiers positifs, et souvent strictement positifs. Quand un système à deux équations et deux inconnues ne suffit pas à trancher entre plusieurs couples de solutions entières, c'est cette contrainte de domaine qui élimine les solutions parasites et désigne la réponse correcte.
La méthode pas à pas
- Nommez le minimum d'inconnues nécessaires, en choisissant celle qui simplifie le plus les autres expressions.
- Traduisez chaque phrase de l'énoncé, dans l'ordre, par une équation séparée.
- Décalez tous les âges ou toutes les quantités de la même valeur si l'énoncé évoque le futur ou le passé.
- Résolvez le système, par substitution si une seule valeur est demandée.
- Vérifiez que la solution respecte le domaine attendu (entiers positifs) avant de conclure.
Trois QCM corrigés
Traitez chaque question en 75 secondes maximum, sans calculatrice, avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1
La somme de deux nombres vaut 50, leur différence vaut 12. Quel est le plus grand des deux ?
- A. 19
- B. 25
- C. 29
- D. 31
- E. 38
Voir la correction détaillée
Réponse : D. En notant x le plus grand et y le plus petit, x + y = 50 et x − y = 12. En additionnant les deux équations : 2x = 62, donc x = 31, puis y = 19. Vérification : 31 + 19 = 50 et 31 − 19 = 12.
La proposition A donne le plus petit nombre, pas le plus grand. La proposition B correspond à la moitié de la somme, en ignorant la différence. La proposition C résulte d'une soustraction mal répartie entre les deux équations. La proposition E ne vérifie ni la somme ni la différence.
Exercice 2
Un père a aujourd'hui trois fois l'âge de son fils. Dans dix ans, il n'aura plus que le double de l'âge de son fils. Quel est l'âge actuel du fils ?
- A. 5 ans
- B. 8 ans
- C. 10 ans
- D. 12 ans
- E. 15 ans
Voir la correction détaillée
Réponse : C. En notant f l'âge actuel du fils, le père a 3f. Dans dix ans : 3f + 10 = 2(f + 10), soit 3f + 10 = 2f + 20, donc f = 10. Le père a donc 30 ans aujourd'hui et 40 ans dans dix ans, exactement le double de 20.
La proposition D correspondrait à un père ayant 36 ans aujourd'hui, incompatible avec la seconde relation. La proposition A oublie d'appliquer le décalage de dix ans au père. La proposition E confondrait le rapport initial avec le rapport final. La proposition B ne vérifie aucune des deux équations posées.
Exercice 3
Une salle contient uniquement des tabourets à 3 pieds et des chaises à 4 pieds, soit 15 sièges en tout. Le nombre total de pieds compté dans la salle est 52. Combien y a-t-il de tabourets à 3 pieds ?
- A. 5
- B. 6
- C. 7
- D. 8
- E. 10
Voir la correction détaillée
Réponse : D. En notant x le nombre de tabourets et y le nombre de chaises : x + y = 15 et 3x + 4y = 52. En substituant y = 15 − x : 3x + 4(15 − x) = 52, soit 3x + 60 − 4x = 52, donc −x = −8, x = 8. On vérifie : 8 tabourets et 7 chaises donnent 3 × 8 + 4 × 7 = 24 + 28 = 52 pieds, et 8 + 7 = 15 sièges, deux entiers positifs cohérents.
La proposition A donnerait 3 × 5 + 4 × 10 = 55 pieds, incompatible avec l'énoncé. La proposition C correspond à une inversion du rôle des deux types de sièges. La proposition E laisserait seulement 5 chaises à 4 pieds, ce qui donne 30 + 20 = 50 pieds, insuffisant. La proposition B ne vérifie pas non plus le total de pieds annoncé.
Les pièges fréquents
- Décaler un seul âge dans le temps. Le temps passe identiquement pour toutes les personnes de l'énoncé.
- Confondre écart constant et rapport constant. La différence d'âge ne varie jamais, le rapport d'âge varie toujours.
- Poser trop d'inconnues. Chaque inconnue supplémentaire est une source d'erreur de calcul évitable.
- Oublier de vérifier le domaine. Un âge négatif ou un effectif non entier signale une inconnue mal choisie ou une équation mal posée.
- Traduire une phrase à l'envers. « A a 5 ans de plus que B » se traduit par A = B + 5, jamais l'inverse.
Mémo des formules
| Situation | Formule | Conditions |
|---|---|---|
| Somme et différence | x = (S + D) / 2 ; y = (S − D) / 2 | S est la somme, D la différence, x > y |
| Décalage temporel | âge futur = âge actuel + n | n s'applique à chaque personne de façon identique |
| Écart d'âge | A − B = constante | Vrai à toute date, passée ou future |
| Système à deux inconnues | substitution : exprimer y en fonction de x | Une seule équation doit rester après substitution |
| Contrainte de domaine | x, y entiers positifs (souvent > 0) | Élimine les solutions mathématiques non recevables |
Mini-plan d'entraînement
- Jour 1 (15 min). Dix problèmes de somme et de différence, résolus par substitution puis vérifiés par addition des deux équations.
- Jour 2 (20 min). Dix problèmes d'âges classiques, avec décalage temporel dans le futur puis dans le passé.
- Jour 3 (20 min). Cinq systèmes à contrainte d'entiers positifs, en vérifiant systématiquement le domaine de la solution trouvée.
- Jour 4 (15 min). Un test chronométré de dix questions mêlant les trois types, à 75 secondes maximum par question.
Questions fréquentes
Combien d'inconnues faut-il poser pour un problème d'âges ?
Autant que de personnes dont l'âge évolue de façon distincte, mais jamais plus que nécessaire. Deux personnes liées par une seule relation (par exemple un rapport d'âge) se traitent souvent avec une seule inconnue, l'âge du plus jeune, l'autre s'exprimant en fonction de la première.
Comment gérer une phrase du type « dans n années » ou « il y a n années » ?
En ajoutant n à chaque âge actuel pour le futur, ou en le retranchant pour le passé, avant de retraduire la relation donnée. L'erreur fréquente consiste à appliquer le décalage à une seule des deux personnes, alors que le temps passe identiquement pour tout le monde.
Que faire quand un système admet plusieurs solutions mathématiques ?
Appliquer la contrainte du domaine : au TAGE MAGE, les âges, les effectifs ou les quantités d'objets sont des entiers positifs, souvent strictement positifs. Cette contrainte élimine presque toujours les solutions parasites et désigne la bonne réponse.
Faut-il toujours résoudre le système complet ou peut-on aller plus vite ?
Quand une seule valeur est demandée, substituer directement l'expression d'une inconnue dans l'autre équation est souvent plus rapide que de résoudre le système dans son ensemble. Gardez le réflexe de relire la question avant de calculer plus que nécessaire.
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Les conférences gratuites Aurlom reprennent la mise en équation en direct, avec un mini test blanc chronométré en conditions réelles.
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Franck Attelan
Spécialiste du TAGE MAGE, auteur de La Bible du TAGE MAGE – 25 ans d'accompagnement des candidats.
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