L'essentiel en 30 secondes
- Le débit d'une tâche accomplie en T unités de temps vaut 1/T (une tâche par T).
- Des débits qui agissent ensemble s'additionnent ; une vidange se soustrait.
- Le temps commun pour accomplir la tâche est l'inverse de la somme (ou de la différence) des débits.
- Un travail interrompu se traite en deux temps : la fraction déjà faite, puis le reste.
Ce cours approfondit le sous-test 2 – Calcul. Retrouvez toutes les notions dans le répertoire des cours du TAGE MAGE, puis appliquez le parcours de remise à niveau en mathématiques.
Le cours
1. Le débit unitaire, la seule grandeur qui s'additionne
Un ouvrier, une machine ou un robinet qui accomplit une tâche entière en T unités de temps a un débit de 1/T tâche par unité de temps. C'est ce nombre, et lui seul, qui reste constant et qui s'additionne lorsque plusieurs agents travaillent en même temps. Un robinet qui remplit un bassin en 6 h a un débit de 1/6 de bassin par heure ; un second qui le remplit en 3 h a un débit de 1/3 de bassin par heure. Ensemble, leur débit vaut 1/6 + 1/3 = 1/2 bassin par heure, donc ils remplissent le bassin en 2 h.
L'erreur la plus fréquente consiste à faire une moyenne des durées : (6 + 3) / 2 = 4,5 h, ce qui ne correspond à rien de physique. Deux agents qui travaillent ensemble finissent toujours plus vite que le plus rapide des deux pris seul, jamais à mi-chemin entre les deux durées.
2. Remplissage et vidange simultanés
Lorsqu'un tuyau remplit un réservoir pendant qu'une fuite ou une vidange le vide en parallèle, les deux débits ne s'additionnent pas : ils se compensent. Le débit net est la différence entre le débit de remplissage et le débit de vidange. Un tuyau qui remplit en 4 h (débit 1/4) associé à une vidange qui vide en 6 h (débit 1/6) donne un débit net de 1/4 − 1/6 = 1/12, donc un remplissage complet en 12 h.
Si le débit de vidange dépassait le débit de remplissage, le débit net deviendrait négatif : le réservoir se viderait au lieu de se remplir, ce qui est physiquement possible mais change entièrement la question posée. Vérifiez toujours le signe du résultat avant de conclure.
3. Travail collectif et travail interrompu
Le même raisonnement s'applique à des personnes qui exécutent une tâche commune : peindre un mur, rédiger un rapport, trier un stock. Chaque personne a un débit propre, exprimé en fraction de tâche par unité de temps, et ces débits s'additionnent tant que les personnes travaillent réellement ensemble sur la totalité de la tâche.
Quand un des agents part en cours de route, il faut découper le problème en deux phases. On calcule d'abord la fraction de tâche réalisée pendant la phase commune, à l'aide du débit combiné et de la durée de cette phase. On retranche ensuite cette fraction de l'unité pour obtenir ce qu'il reste à faire, puis on divise ce reste par le débit de la personne qui poursuit seule pour trouver la durée restante.
4. Homogénéiser les unités avant de calculer
Un débit exprimé en litres par minute ne se combine pas directement avec un débit en litres par heure : convertissez systématiquement dans la même unité de temps avant d'additionner ou de soustraire. C'est une source d'erreur discrète, car les deux nombres semblent compatibles au premier regard, alors que le facteur 60 change tout le résultat.
La méthode pas à pas
- Identifiez la tâche unique de référence : bassin plein, mur peint, rapport terminé.
- Convertissez chaque durée donnée en débit, sous la forme 1/T, dans une unité commune.
- Additionnez les débits qui agissent dans le même sens, soustrayez ceux qui agissent en sens contraire (vidange, fuite).
- S'il y a une interruption, calculez la fraction déjà réalisée avant de traiter la phase restante séparément.
- Inversez le débit final obtenu pour retrouver la durée demandée, et vérifiez l'ordre de grandeur.
Trois QCM corrigés
Traitez chaque question en 75 secondes maximum, sans calculatrice, avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1
Un robinet remplit seul un bassin en 6 h, un second robinet le remplit seul en 3 h. En combien de temps remplissent-ils le bassin ensemble ?
- A. 1 h
- B. 1,5 h
- C. 2 h
- D. 3 h
- E. 4,5 h
Voir la correction détaillée
Réponse : C. Le débit du premier robinet vaut 1/6 de bassin par heure, celui du second 1/3. Ensemble, le débit vaut 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 bassin par heure, donc le bassin se remplit en 2 h.
La proposition E correspond à la moyenne erronée des deux durées (6 + 3) / 2, qui ne représente aucun débit réel. La proposition D reprend la plus petite des deux durées sans tenir compte de l'apport du second robinet. Les propositions A et B sous-estiment le temps en traitant à tort les débits comme s'ils se multipliaient.
Exercice 2
Un tuyau remplit une piscine vide en 4 h. Une vidange, ouverte en même temps, viderait la piscine pleine en 6 h. Combien de temps faut-il pour remplir la piscine, vidange ouverte ?
- A. 2 h
- B. 5 h
- C. 8 h
- D. 10 h
- E. 12 h
Voir la correction détaillée
Réponse : E. Le débit net vaut 1/4 − 1/6 = 3/12 − 2/12 = 1/12 de piscine par heure. Le temps de remplissage est l'inverse de ce débit, soit 12 h.
La proposition A additionne à tort les deux débits comme s'ils agissaient dans le même sens. La proposition C correspond à une lecture erronée du débit net (1/8 au lieu de 1/12). Les propositions B et D ne correspondent à aucun calcul cohérent avec les débits donnés.
Exercice 3
Un ouvrier A peut terminer seul un chantier en 10 jours, un ouvrier B seul en 15 jours. Ils travaillent ensemble pendant 3 jours, puis A quitte le chantier. Combien de jours supplémentaires faut-il à B, seul, pour terminer ?
- A. 5 jours
- B. 6 jours
- C. 7 jours
- D. 7,5 jours
- E. 9 jours
Voir la correction détaillée
Réponse : D. Le débit combiné vaut 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6 de chantier par jour. En 3 jours, la fraction réalisée est 3 × 1/6 = 1/2. Il reste donc 1/2 de chantier, que B termine seul à son débit de 1/15 par jour, soit (1/2) ÷ (1/15) = 7,5 jours.
La proposition C arrondit le résultat exact sans en tenir la fraction décimale. La proposition A confond le reste à faire (1/2) avec le débit de B. La proposition E ignore la part déjà réalisée pendant les 3 premiers jours. La proposition B correspond à un partage erroné du travail restant en deux tiers au lieu de moitié.
Les pièges fréquents
- Faire une moyenne des durées. Deux agents ensemble finissent toujours plus vite que le plus rapide des deux, jamais entre les deux durées.
- Additionner le débit d'une vidange au lieu de le soustraire. Une fuite ou une vidange freine le remplissage, elle ne l'accélère jamais.
- Oublier de convertir les unités. Minutes et heures ne se combinent pas sans conversion préalable.
- Ignorer la phase déjà réalisée. Un travail interrompu exige de retrancher la fraction déjà faite avant de calculer la suite.
- Répondre en débit au lieu de répondre en durée. Relisez la question : elle demande presque toujours un temps, pas une fraction de tâche.
Mémo des formules
| Situation | Formule | Conditions |
|---|---|---|
| Débit unitaire | d = 1 / T | T est la durée pour accomplir seul la tâche entière |
| Travail à plusieurs | d = d₁ + d₂ + … | Tous les agents travaillent dans le même sens |
| Remplissage avec vidange | d = d(remplissage) − d(vidange) | d doit rester positif pour que le réservoir se remplisse |
| Durée totale | T = 1 / d | d est le débit net final, en unité de tâche par unité de temps |
| Travail interrompu | reste = 1 − (d(commun) × t(commun)) | t(commun) est la durée où tous les agents étaient présents |
Mini-plan d'entraînement
- Jour 1 (15 min). Dix exercices à deux agents travaillant ensemble, sans vidange, pour automatiser l'addition des débits.
- Jour 2 (15 min). Dix exercices avec vidange ou fuite, en insistant sur la soustraction des débits et le contrôle du signe.
- Jour 3 (20 min). Cinq exercices de travail interrompu, avec un agent qui part ou qui arrive en cours de route.
- Jour 4 (15 min). Un test chronométré de dix questions mêlant les trois cas, à 75 secondes maximum par question.
Questions fréquentes
Pourquoi ne peut-on pas additionner des durées pour un travail fait à plusieurs ?
Parce que ce sont les débits (le travail par unité de temps) qui s'additionnent, pas les durées. Deux ouvriers qui finissent chacun un mur en 10 h ne le finissent pas ensemble en 20 h, mais en 5 h : leurs débits, 1/10 de mur par heure chacun, s'additionnent en 1/5 de mur par heure.
Comment traiter une vidange qui fonctionne pendant le remplissage ?
En soustrayant le débit de la vidange du débit du robinet : le débit net est la différence des deux débits, jamais leur somme. Si ce débit net est négatif, le réservoir se vide au lieu de se remplir, ce qui doit alerter sur une erreur d'énoncé ou de lecture.
Comment traiter un travail interrompu, avec un ouvrier qui part en cours de route ?
En calculant la fraction du travail déjà réalisée pendant la phase commune, puis en retranchant cette fraction de l'unité pour obtenir ce qui reste, avant de diviser ce reste par le débit de la personne qui continue seule.
Faut-il connaître par cœur des PPCM pour ces exercices ?
Ce n'est pas indispensable, mais repérer rapidement un dénominateur commun entre deux durées accélère beaucoup le calcul. Entre 4 et 6, par exemple, le douzième s'impose immédiatement et évite de manipuler des décimales.
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Franck Attelan
Spécialiste du TAGE MAGE, auteur de La Bible du TAGE MAGE – 25 ans d'accompagnement des candidats.
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