L'essentiel en 30 secondes
- v = d/t, à condition que toutes les grandeurs soient exprimées dans des unités cohérentes.
- Pour convertir km/h en m/s, multipliez par 5/18 ; pour l'inverse, multipliez par 3,6.
- Rencontre : les vitesses s'additionnent. Rattrapage : elles se soustraient.
- La vitesse moyenne sur un aller-retour est une moyenne harmonique, jamais une moyenne arithmétique.
Ce cours approfondit le sous-test 2 – Calcul. Retrouvez toutes les notions dans le répertoire des cours du TAGE MAGE, puis appliquez le parcours de remise à niveau en mathématiques.
Le cours
1. La relation fondamentale et les conversions
La relation v = d/t (vitesse = distance / temps) permet aussi d'écrire d = v×t ou t = d/v selon l'inconnue recherchée. L'essentiel du travail réside dans l'harmonisation des unités avant tout calcul : une vitesse en km/h ne se combine pas avec une distance en mètres ou un temps en minutes sans conversion préalable. Pour passer de km/h à m/s, on multiplie par 1000/3600 = 5/18 ; pour l'opération inverse, on multiplie par 3600/1000 = 18/5 = 3,6.
Un mobile roulant à 72 km/h se déplace donc à 72 × 5/18 = 20 m/s. Inversement, un mobile à 15 m/s roule à 15 × 3,6 = 54 km/h. Ces deux coefficients, 5/18 et 3,6, doivent être disponibles sans réflexion pour ne pas perdre de temps en épreuve.
2. Problèmes de rencontre
Lorsque deux mobiles partent en sens opposé l'un vers l'autre, la distance qui les sépare diminue à une vitesse égale à la somme de leurs deux vitesses. Si la distance initiale est D et les vitesses respectives v₁ et v₂, le temps avant rencontre vaut t = D / (v₁ + v₂). Deux trains distants de 300 km roulant l'un vers l'autre à 80 km/h et 70 km/h se croisent après 300 / (80+70) = 300/150 = 2 heures.
3. Problèmes de rattrapage
Lorsque deux mobiles vont dans le même sens, celui qui suit rattrape celui qui précède à une vitesse égale à la différence de leurs vitesses. Si l'écart initial est D et que le mobile rapide roule à v₁ > v₂, le temps de rattrapage vaut t = D / (v₁ − v₂). Un cycliste ayant 10 km d'avance et roulant à 20 km/h est rattrapé par un second cycliste roulant à 30 km/h en 10 / (30−20) = 1 heure.
4. Vitesse moyenne sur un aller-retour
La vitesse moyenne d'un trajet aller-retour effectué à deux vitesses différentes v₁ à l'aller et v₂ au retour, sur une même distance, n'est pas (v₁+v₂)/2 mais la moyenne harmonique 2v₁v₂/(v₁+v₂). Cette formule provient du fait que le temps passé n'est pas le même aux deux vitesses : on roule plus longtemps à la vitesse la plus faible, ce qui tire la moyenne réelle vers le bas, en dessous de la moyenne arithmétique. Un trajet parcouru à 60 km/h à l'aller et 40 km/h au retour donne une vitesse moyenne de 2×60×40 / (60+40) = 4800/100 = 48 km/h, et non 50 km/h.
La méthode pas à pas
- Harmonisez toutes les unités (distance, temps, vitesse) avant tout calcul.
- Identifiez le type de problème : trajet simple, rencontre, rattrapage ou vitesse moyenne.
- Pour une rencontre, additionnez les vitesses ; pour un rattrapage, soustrayez-les.
- Pour une vitesse moyenne sur un aller-retour, passez par le temps total ou la moyenne harmonique.
- Vérifiez le résultat par un ordre de grandeur physique raisonnable (vitesse, temps positifs et plausibles).
Trois QCM corrigés
Traitez chaque question en 75 secondes maximum, sans calculatrice, avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1
Un cycliste parcourt 90 km en 2 heures et 30 minutes. Quelle est sa vitesse moyenne, en km/h ?
- A. 30 km/h
- B. 32 km/h
- C. 36 km/h
- D. 40 km/h
- E. 45 km/h
Voir la correction détaillée
Réponse : C. 2 heures 30 minutes valent 2,5 heures. La vitesse vaut donc 90 / 2,5 = 36 km/h.
La proposition A (30 km/h) provient d'une division par 3 heures au lieu de 2,5. La proposition B ne correspond à aucun calcul cohérent. La proposition D (40 km/h) provient d'une division par 2,25 heures, incorrecte. La proposition E (45 km/h) correspond à une division par 2 heures en ignorant les 30 minutes supplémentaires.
Exercice 2
Deux villes sont distantes de 210 km. Deux voitures partent en même temps, l'une de chaque ville, l'une vers l'autre, à 60 km/h et 80 km/h. Au bout de combien de temps se croisent-elles ?
- A. 1 heure
- B. 1 h 15
- C. 1 h 30
- D. 1 h 45
- E. 2 heures
Voir la correction détaillée
Réponse : C. Il s'agit d'un problème de rencontre : les vitesses s'additionnent. Le temps de croisement vaut 210 / (60+80) = 210/140 = 1,5 heure, soit 1 h 30.
La proposition A correspondrait à une distance de 140 km. La proposition B ne correspond à aucun calcul cohérent avec les données. La proposition D surestime le temps en soustrayant les vitesses au lieu de les additionner (210/20 = 10,5 h, hors propositions). La proposition E arrondit de façon incorrecte le résultat exact de 1,5 heure.
Exercice 3
Un automobiliste effectue un aller à 90 km/h et le retour, sur la même distance, à 60 km/h. Quelle est sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet ?
- A. 70 km/h
- B. 72 km/h
- C. 75 km/h
- D. 78 km/h
- E. 80 km/h
Voir la correction détaillée
Réponse : B. La vitesse moyenne harmonique vaut 2×90×60 / (90+60) = 10800/150 = 72 km/h.
La proposition C (75 km/h) correspond à la moyenne arithmétique (90+60)/2, qui ignore que le temps passé à 60 km/h est plus long que celui passé à 90 km/h. Les propositions A, D et E ne correspondent à aucun calcul cohérent avec les données de l'énoncé.
Les pièges fréquents
- Mélanger les unités. Une vitesse en km/h combinée à un temps en minutes sans conversion fausse tout le calcul.
- Confondre rencontre et rattrapage. L'un additionne les vitesses, l'autre les soustrait : le sens de déplacement fait toute la différence.
- Calculer une vitesse moyenne par moyenne arithmétique. Sur un aller-retour à distance égale, seule la moyenne harmonique est exacte.
- Oublier de convertir les minutes en heures décimales. 30 minutes valent 0,5 heure, pas 0,3.
- Négliger un décalage de départ. Si les mobiles ne partent pas au même instant, il faut d'abord calculer l'avance déjà prise par l'un d'eux.
Mémo des formules
| Situation | Formule | Conditions |
|---|---|---|
| Relation de base | v = d / t | Unités cohérentes (km et h, ou m et s) |
| Conversion km/h → m/s | v(m/s) = v(km/h) × 5/18 | Coefficient exact 1000/3600 |
| Rencontre | t = D / (v₁ + v₂) | Mobiles se dirigeant l'un vers l'autre |
| Rattrapage | t = D / (v₁ − v₂) | v₁ > v₂, mobiles dans le même sens |
| Vitesse moyenne aller-retour | vₘ = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂) | Même distance à l'aller et au retour |
Mini-plan d'entraînement
- Jour 1 (15 min). Dix conversions croisées km/h ↔ m/s, calculées de tête avec 5/18 et 3,6.
- Jour 2 (15 min). Cinq problèmes de rencontre et cinq problèmes de rattrapage, pour bien distinguer les deux logiques.
- Jour 3 (15 min). Cinq calculs de vitesse moyenne sur un aller-retour, avec vérification par la moyenne harmonique.
- Jour 4 (20 min). Un test mêlant les trois familles de questions, chronométré à 75 secondes chacune.
Questions fréquentes
Comment convertir rapidement des km/h en m/s ?
En multipliant par 1000 et en divisant par 3600, ce qui revient à multiplier par 5/18. À l'inverse, pour passer de m/s à km/h, on multiplie par 18/5, soit 3,6. Ces deux coefficients méritent d'être appris par cœur.
Pourquoi la vitesse moyenne sur un aller-retour n'est-elle pas la moyenne arithmétique des deux vitesses ?
Parce que le temps passé à chaque vitesse diffère : on roule plus longtemps à la vitesse la plus faible. La vitesse moyenne réelle est la moyenne harmonique des deux vitesses, toujours inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique.
Quelle est la différence entre un problème de rencontre et un problème de rattrapage ?
Dans une rencontre, les deux mobiles se déplacent l'un vers l'autre et la distance qui les sépare diminue à la somme de leurs vitesses. Dans un rattrapage, ils vont dans le même sens et l'écart se réduit à la différence de leurs vitesses.
Faut-il toujours convertir les unités avant de calculer ?
Oui, systématiquement : une vitesse en km/h ne peut pas se combiner directement avec un temps en minutes ou une distance en mètres. Harmonisez toutes les unités avant la première multiplication, pas après.
Poursuivre avec
Débits, remplissage et travail collectif
Additionner des débits constants, gérer une vidange simultanée et calculer un travail réalisé à plusieurs.
Fractions, proportions et partages
Manipuler des fractions sans calculatrice, passer d'un rapport à une proportion, répartir une quantité.
Mise en équation et problèmes d'âges
Traduire un énoncé en équations, poser les bonnes inconnues et résoudre un système avec contraintes.
Conférences gratuites Aurlom
Les conférences gratuites Aurlom traitent en direct des problèmes de mouvement chronométrés, exactement dans les conditions du jour J.
- Aurlom × SKEMA – Mardi 10 novembre 2026, 18h00 → 20h00 · SKEMA Business School
- Aurlom × AUDENCIA – Jeudi 12 novembre 2026, 18h00 → 20h00 · Audencia Business School
- Aurlom × KEDGE – Lundi 16 novembre 2026, 18h00 → 20h00 · KEDGE Business School
Franck Attelan
Spécialiste du TAGE MAGE, auteur de La Bible du TAGE MAGE – 25 ans d'accompagnement des candidats.
Mis à jour le