L'essentiel en 30 secondes
- Pour comparer a/b et c/d (b, d > 0), comparez a×d et b×c : pas besoin de dénominateur commun.
- Additionner des fractions suppose un même dénominateur ; multiplier ou diviser, non.
- Un partage proportionnel se fait toujours en parts : total ÷ somme des parts, puis × chaque part.
- Une proportion et un pourcentage décrivent la même réalité, sous deux écritures différentes.
Ce cours approfondit le sous-test 2 – Calcul. Retrouvez toutes les notions dans le répertoire des cours du TAGE MAGE, puis appliquez le parcours de remise à niveau en mathématiques.
Le cours
1. Les quatre opérations sur les fractions
Additionner ou soustraire deux fractions exige un dénominateur commun : a/b + c/d devient (ad + bc)/(bd) lorsque b et d n'ont pas de diviseur commun évident, ou plus simplement (a×k + c×m)/D si D est le plus petit dénominateur commun. Multiplier deux fractions, en revanche, ne demande aucun dénominateur commun : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, puis on simplifie. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : a/b ÷ c/d = a/b × d/c.
La simplification doit se faire par un diviseur commun au numérateur et au dénominateur, jamais par soustraction ni par simplification partielle. 12/18 se simplifie par 6 en 2/3 ; il serait faux de « simplifier » 12/18 en retranchant 6 aux deux termes pour obtenir 6/12.
2. Comparer des rapports sans calculatrice
Pour savoir si a/b est supérieur, inférieur ou égal à c/d, avec b et d strictement positifs, il suffit de comparer les produits en croix a×d et b×c : si a×d > b×c, alors a/b > c/d. Cette technique évite tout calcul décimal et fonctionne même avec des nombres qui ne se simplifient pas facilement. Comparer 7/9 et 11/14 revient à comparer 7×14 = 98 et 9×11 = 99 : puisque 98 est inférieur à 99, 7/9 est inférieur à 11/14.
3. Partages proportionnels
Répartir une somme entre plusieurs personnes « au prorata de » leurs parts respectives suit toujours le même schéma. Si un total T doit être partagé selon des parts p₁, p₂, …, pₙ, chaque part reçoit T × pᵢ / (p₁ + p₂ + … + pₙ). Répartir 900 € entre trois associés selon les parts 2, 3 et 4 revient à diviser 900 par 9 parts pour obtenir 100 € par part, puis à multiplier : 200 €, 300 € et 400 €.
Ce même schéma s'applique aux échelles et aux mélanges : un alliage contenant du cuivre et du zinc dans un rapport 3:2 comporte, pour 500 g d'alliage, 300 g de cuivre et 200 g de zinc, car le total se répartit toujours en 5 parts égales de 100 g.
4. Proportion, pourcentage et échelle
Une proportion exprime la part d'un sous-ensemble dans un ensemble total ; elle peut s'écrire en fraction (3/8), en pourcentage (37,5 %) ou en décimal (0,375). Ces trois écritures sont interchangeables et il faut savoir passer instantanément de l'une à l'autre. Une échelle de carte, elle, est un rapport entre une longueur sur le plan et la longueur réelle : au 1/25000e, 1 cm sur la carte représente 25000 cm, soit 250 m, dans la réalité.
La méthode pas à pas
- Identifiez si l'énoncé demande une opération sur fractions, une comparaison de rapports ou un partage.
- Pour une comparaison, utilisez le produit en croix plutôt que la conversion décimale.
- Pour un partage, comptez le nombre total de parts avant de calculer la valeur d'une part.
- Simplifiez à chaque étape par un diviseur commun, jamais par soustraction.
- Vérifiez le résultat par un ordre de grandeur : la somme des parts doit reconstituer le total.
Trois QCM corrigés
Traitez chaque question en 75 secondes maximum, sans calculatrice, avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1
Quelle fraction est la plus grande : 5/7 ou 8/11 ?
- A. 5/7
- B. 8/11
- C. Elles sont égales
- D. Impossible à déterminer
- E. 5/7 = 8/11 arrondi
Voir la correction détaillée
Réponse : B. Pour comparer 5/7 et 8/11, on applique le produit en croix : 5×11 = 55 et 7×8 = 56. La règle est a/b > c/d si et seulement si a×d > b×c. Ici 5×11 = 55 est inférieur à 7×8 = 56, donc 5/7 est inférieur à 8/11 : c'est 8/11 la fraction la plus grande.
La proposition A (5/7) inverse le sens de la comparaison. Les propositions C et D sont fausses car un produit en croix strictement inégal (55 ≠ 56) exclut l'égalité ou l'indétermination. La proposition E est un arrondi trompeur qui ne correspond à aucune valeur calculée.
Exercice 2
Un héritage de 720 000 € est partagé entre trois héritiers au prorata des parts 3, 4 et 5. Combien reçoit l'héritier ayant la plus petite part ?
- A. 120 000 €
- B. 144 000 €
- C. 180 000 €
- D. 200 000 €
- E. 240 000 €
Voir la correction détaillée
Réponse : C. Le nombre total de parts est 3 + 4 + 5 = 12. Une part vaut donc 720 000 / 12 = 60 000 €. L'héritier ayant la plus petite part (3 parts) reçoit 3 × 60 000 = 180 000 €.
La proposition A correspond à une division par 6 parts au lieu de 12. La proposition B ne correspond à aucun calcul cohérent avec les parts données. Les propositions D et E correspondent respectivement aux parts de 4 et 5 parts mal recalculées avec un total erroné de 10.
Exercice 3
Un alliage de 450 g contient du cuivre et de l'étain dans un rapport 4:5. Quelle est la masse de cuivre ?
- A. 150 g
- B. 180 g
- C. 200 g
- D. 225 g
- E. 250 g
Voir la correction détaillée
Réponse : C. Le rapport 4:5 correspond à 9 parts au total. Une part vaut 450 / 9 = 50 g. La masse de cuivre, qui correspond à 4 parts, vaut donc 4 × 50 = 200 g.
La proposition A correspond à une division erronée par 3 parts. La proposition B ne correspond à aucun multiple cohérent de 50. La proposition D confond la part de cuivre avec la moitié du total. La proposition E correspond à la masse d'étain (5 parts), et non à celle du cuivre demandée par l'énoncé : c'est une confusion fréquente entre les deux composants.
Les pièges fréquents
- Simplifier par soustraction. 12/18 n'est pas 6/12 : on divise, on ne retranche jamais.
- Comparer des fractions en les convertissant approximativement. Un arrondi trop rapide inverse parfois l'ordre réel.
- Oublier une part dans un partage. Toujours vérifier que la somme des parts couvre bien tous les bénéficiaires cités.
- Confondre rapport et proportion. Un rapport 3:2 signifie 3 parts pour 2, pas 3/2 du total.
- Additionner des fractions sans dénominateur commun. 1/2 + 1/3 n'est pas 2/5, mais 5/6.
Mémo des formules
| Situation | Formule | Conditions |
|---|---|---|
| Comparaison de rapports | a/b > c/d ⇔ a×d > b×c | b > 0 et d > 0 |
| Addition de fractions | a/b + c/d = (a×d + b×c)/(b×d) | Simplifier ensuite par le PGCD |
| Division de fractions | a/b ÷ c/d = a/b × d/c | c ≠ 0 |
| Partage proportionnel | partᵢ = T × pᵢ / Σp | Σp est la somme de toutes les parts citées |
| Échelle | distance réelle = distance carte / échelle | Unités identiques avant division |
Mini-plan d'entraînement
- Jour 1 (15 min). Dix comparaisons de rapports par produit en croix, sans calculatrice.
- Jour 2 (15 min). Dix additions et soustractions de fractions à dénominateurs différents.
- Jour 3 (15 min). Dix partages proportionnels à trois ou quatre bénéficiaires.
- Jour 4 (20 min). Un test mêlant les trois types, chronométré à 75 secondes par question.
Questions fréquentes
Faut-il réduire une fraction au même dénominateur pour comparer deux rapports ?
Oui, c'est la méthode la plus sûre, mais le produit en croix est souvent plus rapide au TAGE MAGE : pour comparer a/b et c/d avec b et d positifs, il suffit de comparer a×d et b×c sans jamais calculer le dénominateur commun.
Comment reconnaître un partage proportionnel dans un énoncé ?
Dès que l'énoncé répartit une quantité totale « au prorata de », « proportionnellement à » ou « selon les parts de », vous êtes face à un partage proportionnel : il faut diviser le total par la somme des parts, puis multiplier par chaque part.
Une proportion est-elle la même chose qu'un pourcentage ?
Une proportion est un rapport entre une partie et un tout, exprimé sous forme de fraction ou de pourcentage. 3/4 et 75 % décrivent la même proportion ; le pourcentage n'est qu'une proportion ramenée sur une base de 100.
Comment éviter les erreurs de simplification sous pression ?
Ne simplifiez jamais en divisant numérateur et dénominateur par des nombres différents. Cherchez d'abord un diviseur commun évident (2, 3, 5) et vérifiez le résultat en multipliant en sens inverse avant de continuer le calcul.
Poursuivre avec
Pourcentages et variations successives
Coefficients multiplicateurs, variations successives, taux inverse et différence entre pourcentage et point.
Probabilités et dénombrement
Équiprobabilité, indépendance contre conditionnement, tirages avec ou sans remise, ordre pris en compte ou non.
Débits, remplissage et travail collectif
Additionner des débits constants, gérer une vidange simultanée et calculer un travail réalisé à plusieurs.
Conférences gratuites Aurlom
Les conférences gratuites Aurlom détaillent en direct les automatismes de calcul mental sur fractions et proportions, avec un test blanc chronométré.
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Franck Attelan
Spécialiste du TAGE MAGE, auteur de La Bible du TAGE MAGE – 25 ans d'accompagnement des candidats.
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