L'essentiel en 30 secondes
- Chaque critère de divisibilité (2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11) se lit sur les chiffres du nombre, sans division.
- Tout entier supérieur à 1 se décompose de façon unique en produit de nombres premiers.
- Le PGCD prend le plus petit exposant commun, le PPCM prend le plus grand exposant rencontré.
- Le nombre 1 n'est pas premier ; 2 est le seul nombre premier pair.
Ce cours approfondit le sous-test 2 – Calcul. Retrouvez toutes les notions dans le répertoire des cours du TAGE MAGE, puis appliquez le parcours de remise à niveau en mathématiques.
Le cours
1. Les critères de divisibilité utiles
Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair, par 5 si ce chiffre vaut 0 ou 5, par 10 s'il se termine par 0. Il est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4, ce qui évite de manipuler le nombre entier. La divisibilité par 3 et par 9 se lit sur la somme des chiffres : si cette somme est divisible par 3 (respectivement par 9), le nombre l'est aussi. La divisibilité par 6 combine simplement les critères de 2 et de 3.
Le critère de 11 est moins connu mais tout aussi rapide : on additionne les chiffres de rang pair et les chiffres de rang impair séparément, puis on compare les deux sommes ; si leur différence est un multiple de 11 (y compris 0), le nombre est divisible par 11. Pour 2 728 : chiffres de rang impair (en partant de la droite) 8 et 7, somme 15 ; chiffres de rang pair 2 et 2, somme 4 ; différence 11, multiple de 11, donc 2 728 est bien divisible par 11.
2. Décomposer un nombre en facteurs premiers
Décomposer un nombre consiste à l'écrire comme un produit de nombres premiers, en divisant successivement par les plus petits nombres premiers possibles : 2, puis 3, puis 5, puis 7, et ainsi de suite, jusqu'à obtenir 1. Pour 180 : 180 = 2 × 90 = 2 × 2 × 45 = 2² × 3 × 15 = 2² × 3² × 5. Cette écriture unique, garantie par le théorème fondamental de l'arithmétique, est la clé de tous les calculs de PGCD et de PPCM.
Un raccourci utile : il suffit de tester les nombres premiers jusqu'à la racine carrée du nombre étudié pour savoir s'il est lui-même premier. Comme la racine carrée de 97 est proche de 9,8, il suffit de vérifier qu'aucun nombre premier inférieur ou égal à 9 (2, 3, 5, 7) ne le divise pour conclure que 97 est premier.
3. PGCD et PPCM à partir des décompositions
Une fois deux nombres décomposés en facteurs premiers, le PGCD se construit en retenant chaque facteur premier commun aux deux décompositions, affecté du plus petit exposant rencontré. Le PPCM se construit à l'inverse en retenant chaque facteur premier présent dans l'une ou l'autre décomposition, affecté du plus grand exposant. Avec 48 = 2⁴ × 3 et 180 = 2² × 3² × 5, le PGCD vaut 2² × 3 = 12 et le PPCM vaut 2⁴ × 3² × 5 = 720.
Une relation permet de vérifier un calcul : pour deux entiers a et b, le produit du PGCD et du PPCM est toujours égal au produit a × b. Avec 48 et 180, on vérifie 12 × 720 = 8 640, exactement égal à 48 × 180.
4. Applications typiques du PPCM et du PGCD
Le PPCM répond aux questions de synchronisation : deux événements périodiques (bus, clignotants, cycles de production) coïncident de nouveau après un délai égal au PPCM de leurs deux périodes. Le PGCD répond aux questions de partage optimal : répartir deux quantités en lots identiques du plus grand format possible, ou carreler une surface avec le plus grand carreau carré possible, revient à calculer le PGCD des dimensions.
La méthode pas à pas
- Identifiez ce qui est demandé : un critère de divisibilité, une décomposition, un PGCD ou un PPCM.
- Décomposez chaque nombre concerné en facteurs premiers si la question porte sur un PGCD ou un PPCM.
- Pour un PGCD, retenez les facteurs communs au plus petit exposant ; pour un PPCM, tous les facteurs au plus grand exposant.
- Vérifiez si besoin par la relation PGCD × PPCM = a × b.
- Relisez l'énoncé pour confirmer l'unité et la nature attendues de la réponse.
Trois QCM corrigés
Traitez chaque question en 75 secondes maximum, sans calculatrice, avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1
Quel est le plus grand diviseur premier de 84 ?
- A. 2
- B. 3
- C. 4
- D. 6
- E. 7
Voir la correction détaillée
Réponse : E. 84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2² × 3 × 7. Les diviseurs premiers de 84 sont donc 2, 3 et 7 ; le plus grand est 7.
Les propositions A et B citent des diviseurs premiers réels de 84, mais pas le plus grand. La proposition C (4) et la proposition D (6) sont des diviseurs de 84 mais ne sont pas des nombres premiers, puisque 4 = 2² et 6 = 2 × 3.
Exercice 2
Quel est le PGCD de 48 et 180 ?
- A. 6
- B. 9
- C. 12
- D. 15
- E. 24
Voir la correction détaillée
Réponse : C. 48 = 2⁴ × 3 et 180 = 2² × 3² × 5. Le facteur commun 2 apparaît avec les exposants 4 et 2, on retient le plus petit, 2². Le facteur commun 3 apparaît avec les exposants 1 et 2, on retient le plus petit, 3¹. Le PGCD vaut donc 2² × 3 = 12.
La proposition E (24) prend l'exposant le plus grand de 2 au lieu du plus petit. La proposition A (6) omet le facteur 2² et ne garde qu'un seul 2. La proposition B (9) ne correspond à aucun facteur commun réel des deux décompositions. La proposition D (15) confond la structure d'un PGCD avec un simple produit de deux diviseurs isolés.
Exercice 3
Deux bus partent en même temps d'un même arrêt : le premier repasse toutes les 18 minutes, le second toutes les 24 minutes. Au bout de combien de minutes repartiront-ils de nouveau ensemble ?
- A. 36 minutes
- B. 48 minutes
- C. 54 minutes
- D. 72 minutes
- E. 144 minutes
Voir la correction détaillée
Réponse : D. Le délai cherché est le PPCM de 18 et 24. 18 = 2 × 3² et 24 = 2³ × 3. Le PPCM retient chaque facteur au plus grand exposant : 2³ × 3² = 8 × 9 = 72. Les deux bus repartiront donc ensemble au bout de 72 minutes.
La proposition E (144) correspond au produit brut 18 × 24 divisé par 3 au lieu du PGCD réel, une erreur de calcul de la relation PGCD-PPCM. La proposition A (36) n'est multiple que de 18, pas de 24. La proposition B (48) n'est multiple que de 24, pas de 18. La proposition C (54) n'est multiple ni de 18 ni de 24 de façon exacte pour les deux à la fois.
Les pièges fréquents
- Confondre PGCD et PPCM. Le premier est toujours inférieur ou égal aux deux nombres, le second toujours supérieur ou égal aux deux.
- Prendre le mauvais exposant. Le PGCD retient le plus petit exposant commun, le PPCM le plus grand exposant rencontré.
- Considérer 1 comme premier. Le nombre 1 n'a qu'un seul diviseur, il n'est ni premier ni composé.
- Oublier de tester tous les petits nombres premiers. Une décomposition incomplète laisse parfois un facteur composé non détecté.
- Confondre divisibilité par 3 et divisibilité par 9. Une somme de chiffres divisible par 3 ne garantit pas la divisibilité par 9.
Mémo des formules
| Situation | Formule | Conditions |
|---|---|---|
| Divisibilité par 3 ou 9 | somme des chiffres divisible par 3 (ou 9) | Applicable à tout entier écrit en base 10 |
| Divisibilité par 11 | différence des sommes de chiffres de rang pair et impair multiple de 11 | Y compris une différence nulle |
| Décomposition en facteurs premiers | N = p₁^a × p₂^b × … | Écriture unique pour tout entier N > 1 |
| PGCD | produit des facteurs communs au plus petit exposant | Nécessite la décomposition des deux nombres |
| PPCM | produit de tous les facteurs au plus grand exposant | PGCD × PPCM = a × b, pour vérification |
Mini-plan d'entraînement
- Jour 1 (15 min). Appliquez les huit critères de divisibilité à vingt nombres choisis au hasard, sans poser de division.
- Jour 2 (15 min). Décomposez dix nombres compris entre 60 et 300 en facteurs premiers, en chronométrant chaque décomposition.
- Jour 3 (20 min). Calculez le PGCD et le PPCM de cinq paires de nombres, puis vérifiez chaque résultat avec la relation PGCD × PPCM = a × b.
- Jour 4 (15 min). Un test chronométré de dix questions mêlant divisibilité, PGCD et PPCM, à 75 secondes maximum par question.
Questions fréquentes
Comment reconnaître rapidement qu'un nombre est divisible par 9 ?
En additionnant tous ses chiffres : si cette somme est divisible par 9, le nombre l'est aussi. Le nombre 4 725 a pour somme de chiffres 4+7+2+5=18, divisible par 9, donc 4 725 est bien divisible par 9. Le même critère de somme des chiffres fonctionne avec 3.
Quelle est la différence entre le PGCD et le PPCM ?
Le PGCD (plus grand commun diviseur) est le plus grand nombre qui divise à la fois deux nombres donnés ; le PPCM (plus petit commun multiple) est le plus petit nombre qui soit à la fois multiple des deux. Le premier sert à simplifier ou à répartir, le second à synchroniser des cycles.
Comment calculer un PGCD ou un PPCM à partir de la décomposition en facteurs premiers ?
Le PGCD se construit en prenant chaque facteur premier commun affecté du plus petit exposant rencontré ; le PPCM se construit en prenant chaque facteur premier apparaissant dans l'une ou l'autre décomposition, affecté du plus grand exposant.
Le nombre 1 est-il un nombre premier ?
Non. Un nombre premier possède exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même ; le nombre 1 n'en possède qu'un seul, il n'est donc ni premier ni composé. Le plus petit nombre premier est 2, qui est aussi le seul nombre premier pair.
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Franck Attelan
Spécialiste du TAGE MAGE, auteur de La Bible du TAGE MAGE – 25 ans d'accompagnement des candidats.
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