L'essentiel en 30 secondes
- En situation d'équiprobabilité, une probabilité vaut (nombre de cas favorables) / (nombre de cas possibles).
- Deux événements indépendants : on multiplie leurs probabilités sans condition.
- Avec remise, l'univers reste identique à chaque tirage ; sans remise, il se réduit d'un élément.
- Sans ordre, on compte des ensembles ; avec ordre, on compte des listes, ce qui change le dénombrement.
Ce cours approfondit le sous-test 2 – Calcul. Retrouvez toutes les notions dans le répertoire des cours du TAGE MAGE, puis appliquez le parcours de remise à niveau en mathématiques.
Le cours
1. L'équiprobabilité, point de départ de tout calcul
La quasi-totalité des exercices de probabilité au TAGE MAGE reposent sur des situations équiprobables : chaque issue élémentaire (une boule, une carte, une face de dé) a la même chance d'être obtenue. Dans ce cadre, la probabilité d'un événement se calcule simplement par le rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles. Tirer une boule rouge parmi 4 rouges et 6 vertes donne ainsi une probabilité de 4/10, soit 0,4, sans qu'aucune autre formule ne soit nécessaire.
La difficulté ne vient donc presque jamais de la formule elle-même, mais du dénombrement correct des cas favorables et des cas possibles, en particulier lorsque l'expérience comporte plusieurs étapes (plusieurs tirages, plusieurs lancers).
2. Indépendance ou probabilité conditionnelle ?
Deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l'un ne modifie en rien la probabilité de l'autre : la probabilité de l'événement « A et B » s'obtient alors en multipliant simplement P(A) par P(B). C'est le cas de deux lancers de dé successifs, ou d'un tirage avec remise : chaque tirage repart d'un univers identique.
La probabilité conditionnelle intervient au contraire lorsque le résultat d'un premier événement modifie l'univers du second, typiquement lors d'un tirage sans remise. Après avoir tiré une boule rouge dans une urne de 4 rouges et 6 vertes sans la remettre, il ne reste plus que 9 boules, dont 3 rouges : la probabilité de tirer une seconde rouge, sachant que la première l'était, vaut alors 3/9, et non plus 4/10. Confondre les deux situations est l'erreur la plus fréquente de ce chapitre.
3. Avec ou sans remise : deux univers différents
Avec remise, chaque tirage est réalisé dans les mêmes conditions que le précédent : l'univers ne change jamais, les tirages sont indépendants, et on multiplie directement les probabilités individuelles. Sans remise, l'univers se réduit d'un élément après chaque tirage, ce qui impose de recalculer la probabilité de chaque étape en fonction de ce qui a déjà été tiré. Un même énoncé change donc totalement de traitement selon que la boule, la carte ou la personne interrogée « revient dans le jeu » ou non.
4. L'ordre compte-t-il ?
Lorsqu'un énoncé décrit un tirage simultané de plusieurs éléments (« on tire deux boules en même temps », « on choisit un comité de trois personnes »), l'ordre n'a pas de sens : seul l'ensemble final compte, et le dénombrement utilise des combinaisons. Lorsqu'un énoncé distingue les tirages (« on tire une première boule, puis une seconde », « premier, deuxième et troisième prix »), l'ordre compte, et le dénombrement utilise des arrangements ou, plus simplement, un calcul de probabilités successives étape par étape. Le mot clé à repérer est donc la présence ou l'absence d'un rang explicite dans l'énoncé.
La méthode pas à pas
- Identifiez l'univers de départ : combien d'issues possibles, sont-elles équiprobables ?
- Repérez si l'expérience comporte une ou plusieurs étapes successives.
- Déterminez s'il y a remise (univers identique à chaque étape) ou non (univers réduit).
- Déterminez si l'ordre des éléments compte ou non pour la question posée.
- Calculez la probabilité de chaque étape puis multipliez-les, ou dénombrez directement cas favorables et cas possibles.
- Vérifiez que le résultat final est bien compris entre 0 et 1.
Trois QCM corrigés
Traitez chaque question en 75 secondes maximum avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1
Une urne contient 3 boules blanches et 7 boules noires. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?
- A. 3/10
- B. 3/7
- C. 7/10
- D. 7/3
- E. 1/3
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Réponse : A. Situation d'équiprobabilité : la probabilité vaut (cas favorables) / (cas possibles) = 3 / (3 + 7) = 3/10.
La proposition B rapporte les blanches aux noires au lieu du total. La proposition C donne la probabilité de tirer une boule noire, pas blanche. La proposition D inverse numérateur et dénominateur, ce qui donnerait un nombre supérieur à 1, impossible pour une probabilité. La proposition E correspond à une urne de 9 boules, absente de l'énoncé.
Exercice 2
On lance deux fois de suite une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir « pile » aux deux lancers ?
- A. 1/2
- B. 1/3
- C. 1/4
- D. 1/8
- E. 2/3
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Réponse : C. Les deux lancers sont indépendants : la pièce n'a pas de mémoire, le second lancer se déroule dans les mêmes conditions que le premier. On multiplie donc les probabilités : 1/2 × 1/2 = 1/4.
La proposition A donne la probabilité d'un seul lancer « pile », sans tenir compte du second. La proposition D correspondrait à trois lancers indépendants (1/2³), pas deux. Les propositions B et E ne correspondent à aucun calcul cohérent avec une pièce équilibrée.
Exercice 3
Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules vertes. On tire successivement deux boules sans remise. Quelle est la probabilité que les deux boules tirées soient rouges ?
- A. 4/25
- B. 2/15
- C. 1/9
- D. 3/25
- E. 2/5
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Réponse : B. Le tirage se fait sans remise : après la première boule rouge tirée (probabilité 4/10), il ne reste que 9 boules dont 3 rouges (probabilité conditionnelle 3/9). La probabilité des deux événements combinés vaut donc 4/10 × 3/9 = 12/90 = 2/15.
La proposition A applique à tort 4/10 × 4/10, comme s'il y avait remise, ce que l'énoncé exclut explicitement. Les propositions C et D ne correspondent à aucun calcul cohérent de la probabilité sans remise. La proposition E donne seulement la probabilité du premier tirage rouge.
Les pièges fréquents
- Appliquer l'indépendance à un tirage sans remise. L'univers change dès qu'un élément n'est pas remis.
- Confondre combinaison et arrangement. Sans ordre, on compte des ensembles ; avec ordre, des listes distinctes.
- Oublier de recalculer l'univers restant à chaque étape d'un tirage sans remise.
- Additionner au lieu de multiplier les probabilités de deux événements qui doivent se produire simultanément.
- Obtenir une probabilité supérieure à 1 sans remettre en cause le calcul qui l'a produite.
Mémo des formules
| Situation | Formule | Conditions |
|---|---|---|
| Équiprobabilité | P = (cas favorables) / (cas possibles) | toutes les issues ont la même chance |
| Événements indépendants | P(A et B) = P(A) × P(B) | la réalisation de A ne change pas P(B) |
| Tirage sans remise (2 tirages) | P = P(1er) × P(2e sachant 1er) | univers réduit d'un élément après le 1er tirage |
| Tirage avec remise (2 tirages) | P = P(1er) × P(2e) | univers identique à chaque tirage |
| Événement contraire | P(non A) = 1 − P(A) | toujours valable |
Mini-plan d'entraînement
- Jour 1 (15 min). Dix calculs de probabilité simple en situation d'équiprobabilité, avec dénombrement écrit.
- Jour 2 (15 min). Cinq exercices avec remise, cinq exercices sans remise, en comparant systématiquement les deux résultats.
- Jour 3 (15 min). Dix exercices où il faut d'abord décider si l'ordre compte, avant tout calcul.
- Jour 4 (20 min). Dix questions mêlant indépendance et conditionnement, chronométrées à 75 secondes chacune.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre événements indépendants et probabilité conditionnelle ?
Deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l'un ne change rien à la probabilité de l'autre : on multiplie alors simplement les probabilités. La probabilité conditionnelle, au contraire, mesure une probabilité sachant qu'un autre événement est déjà réalisé, ce qui change la composition de l'univers restant, typiquement lors d'un tirage sans remise.
Faut-il tenir compte de l'ordre dans un tirage simultané ?
Non : tirer deux boules « en même temps » revient à choisir un ensemble de deux éléments, sans ordre. Tirer deux boules « l'une après l'autre » revient en revanche à distinguer un premier et un second tirage, donc à tenir compte de l'ordre, sauf si l'énoncé précise explicitement le contraire.
Le dénombrement change-t-il selon qu'il y a remise ou non ?
Oui, fondamentalement. Avec remise, l'univers reste identique à chaque tirage : les tirages successifs sont indépendants. Sans remise, l'univers se réduit d'un élément à chaque tirage : les probabilités des tirages suivants dépendent du résultat des tirages précédents.
Comment vérifier rapidement un résultat de probabilité ?
En s'assurant qu'il est compris entre 0 et 1, et en additionnant les probabilités de tous les cas envisagés pour vérifier qu'elles totalisent bien 1 lorsque l'énoncé décrit une situation exhaustive. Un résultat supérieur à 1 signale à coup sûr une erreur de calcul.
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Franck Attelan
Spécialiste du TAGE MAGE, auteur de La Bible du TAGE MAGE – 25 ans d'accompagnement des candidats.
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