L'essentiel en 30 secondes
- Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse vaut la somme des carrés des deux côtés de l'angle droit.
- Une aire se calcule toujours en multipliant deux longueurs (ou une constante par une longueur au carré).
- Un agrandissement de rapport k multiplie les longueurs par k, les aires par k² et les volumes par k³.
- La réciproque de Pythagore permet de prouver qu'un triangle est rectangle à partir de ses trois côtés.
Ce cours approfondit le sous-test 2 – Calcul. Retrouvez toutes les notions dans le répertoire des cours du TAGE MAGE, puis appliquez le parcours de remise à niveau en mathématiques.
Le cours
1. Le théorème de Pythagore, direct et réciproque
Dans un triangle rectangle, si c désigne l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) et a, b les deux autres côtés, alors c² = a² + b². Ce théorème sert d'abord à calculer une longueur manquante : avec a = 3 et b = 4, on obtient c² = 9 + 16 = 25, donc c = 5. Le triplet (3, 4, 5) et ses multiples (6, 8, 10 ; 9, 12, 15) reviennent si souvent qu'il vaut mieux les reconnaître d'un coup d'œil plutôt que de refaire le calcul.
La réciproque est tout aussi utile : si dans un triangle de côtés a, b, c (c étant le plus grand), on vérifie a² + b² = c², alors le triangle est rectangle en l'angle opposé à c. Un triangle de côtés 5, 12 et 13 est ainsi rectangle, car 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13². Cette vérification suffit à elle seule à répondre à de nombreuses questions sans tracer de figure.
2. Aires et volumes usuels
Une aire se retient presque toujours comme le produit de deux longueurs : longueur × largeur pour le rectangle, (base × hauteur) / 2 pour le triangle, π × rayon² pour le disque. Un volume s'obtient le plus souvent en multipliant une aire de base par une hauteur : c'est le cas du pavé droit, du prisme et du cylindre. Deux volumes usuels échappent à cette règle simple et doivent être mémorisés à part : le cube, dont le volume vaut le côté à la puissance trois, et la sphère, dont le volume vaut (4/3) × π × rayon³.
Un repère utile pour ne jamais confondre aire et volume : une aire s'exprime toujours avec une unité au carré (cm², m²), un volume avec une unité au cube (cm³, m³). Si le calcul mené ne produit pas la bonne puissance de l'unité, une erreur de formule s'est glissée quelque part.
3. L'effet d'un agrandissement de rapport k
Lorsqu'une figure est agrandie (ou réduite) avec un rapport k identique dans toutes les directions, trois grandeurs ne réagissent pas de la même façon. Les longueurs, homogènes à une seule dimension, sont multipliées par k. Les aires, produits de deux longueurs, sont multipliées par k × k = k². Les volumes, produits de trois longueurs, sont multipliés par k × k × k = k³.
Concrètement, doubler toutes les dimensions d'une figure (k = 2) multiplie son périmètre par 2, son aire par 4 et son volume par 8. Réduire de moitié (k = 0,5) divise le périmètre par 2, l'aire par 4 et le volume par 8. Cette loi, indépendante de la forme de la figure, est l'un des raccourcis les plus rentables du sous-test Calcul, car elle évite de recalculer intégralement une formule.
4. Cas particuliers : cercle et triangle
Pour un cercle, multiplier le rayon par k multiplie la circonférence (2πr) par k et l'aire (πr²) par k². Pour un triangle, un agrandissement homothétique multiplie chaque côté par k, donc le périmètre par k, et l'aire – produit d'une base et d'une hauteur, toutes deux multipliées par k – par k². Retenez que seul un agrandissement homothétique (toutes les dimensions multipliées par le même k) obéit à cette loi : multiplier uniquement la base d'un rectangle par k, sans toucher à sa largeur, multiplie son aire par k, pas par k².
La méthode pas à pas
- Identifiez la figure en jeu et la grandeur demandée : longueur, aire ou volume.
- Si un triangle rectangle apparaît, cherchez d'abord s'il est utile d'appliquer Pythagore (direct ou réciproque).
- Choisissez la formule usuelle correspondante, sans en changer l'unité en cours de route.
- Si un rapport d'agrandissement k est donné, appliquez directement k, k² ou k³ selon la grandeur visée, plutôt que de recalculer les deux figures.
- Contrôlez l'ordre de grandeur et l'unité du résultat (au carré pour une aire, au cube pour un volume).
Trois QCM corrigés
Traitez chaque question en 75 secondes maximum avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1
Un triangle a pour côtés 6 cm, 8 cm et 10 cm. Ce triangle est-il rectangle ?
- A. Oui, rectangle en l'angle opposé au côté de 10 cm
- B. Oui, rectangle en l'angle opposé au côté de 8 cm
- C. Oui, rectangle en l'angle opposé au côté de 6 cm
- D. Non, ce n'est pas un triangle rectangle
- E. On ne peut pas savoir sans connaître les angles
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Réponse : A. Le plus grand côté est 10. On vérifie la réciproque de Pythagore : 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10². L'égalité étant vérifiée, le triangle est rectangle, et l'angle droit est nécessairement opposé au plus grand côté, celui de 10 cm.
Les propositions B et C citent le bon théorème mais placent l'angle droit au mauvais sommet : l'angle droit est toujours opposé à l'hypoténuse, donc au plus grand côté. La proposition D nie à tort un résultat pourtant vérifié par le calcul. La proposition E est fausse : les trois longueurs suffisent entièrement à trancher, sans connaître aucun angle.
Exercice 2
Un jardin rectangulaire mesure 12 m sur 5 m. Quelle est son aire ?
- A. 17 m²
- B. 34 m²
- C. 60 m²
- D. 120 m²
- E. 144 m²
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Réponse : C. L'aire d'un rectangle est le produit de la longueur par la largeur : 12 × 5 = 60 m².
La proposition A additionne les deux dimensions au lieu de les multiplier. La proposition B double cette somme, en confondant avec un calcul de périmètre (2 × (12 + 5) = 34 m). Les propositions D et E résultent d'erreurs de calcul sur le produit 12 × 5.
Exercice 3
Un cube en bois de 4 cm de côté est agrandi pour obtenir un cube de 12 cm de côté. Par combien le volume a-t-il été multiplié ?
- A. 3
- B. 6
- C. 9
- D. 12
- E. 27
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Réponse : E. Le rapport d'agrandissement vaut k = 12 / 4 = 3. Le volume, homogène à trois longueurs, est multiplié par k³ = 27. Vérification directe : 4³ = 64 cm³, 12³ = 1 728 cm³, et 1 728 / 64 = 27.
La proposition A confond avec le rapport des longueurs (k = 3), sans l'élever au cube. La proposition C correspond au rapport des aires (k² = 9), erreur fréquente lorsqu'on confond aire et volume. Les propositions B et D ne correspondent à aucun calcul cohérent avec l'énoncé.
Les pièges fréquents
- Multiplier l'aire par k au lieu de k². Seules les longueurs suivent directement le rapport k.
- Placer l'angle droit au mauvais sommet. Il est toujours opposé au plus grand côté (l'hypoténuse).
- Confondre périmètre et aire. Le premier s'exprime en unités simples, la seconde en unités au carré.
- Oublier qu'un agrandissement doit être homothétique. Si une seule dimension change, la loi en k² ou k³ ne s'applique pas.
- Appliquer Pythagore à un triangle non rectangle. Le théorème direct suppose l'angle droit déjà connu.
Mémo des formules
| Figure | Formule | Conditions |
|---|---|---|
| Triangle rectangle | c² = a² + b² | c est l'hypoténuse (le plus grand côté) |
| Rectangle | Aire = L × l | L, l en unités identiques |
| Triangle | Aire = (base × hauteur) / 2 | hauteur relative à la base choisie |
| Disque | Aire = π × r² | r est le rayon |
| Cube | Volume = c³ | c est le côté |
| Agrandissement de rapport k | longueurs × k, aires × k², volumes × k³ | agrandissement homothétique, k > 0 |
Mini-plan d'entraînement
- Jour 1 (15 min). Recalculez de mémoire les six formules d'aires et de volumes usuels, sans support.
- Jour 2 (15 min). Dix triangles à tester avec la réciproque de Pythagore, en notant à chaque fois le sommet de l'angle droit.
- Jour 3 (15 min). Dix figures agrandies avec un rapport k différent, en calculant à chaque fois l'effet sur longueur, aire et volume.
- Jour 4 (20 min). Dix questions mêlant les trois notions, chronométrées à 75 secondes chacune.
Questions fréquentes
Faut-il connaître le théorème de Pythagore réciproque ?
Oui : si dans un triangle le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle. Cette réciproque sert autant que le théorème direct au TAGE MAGE, en particulier pour vérifier qu'un triangle donné par ses trois longueurs est rectangle.
Pourquoi une aire est-elle multipliée par k² et non par k lors d'un agrandissement ?
Parce qu'une aire est le produit de deux longueurs, chacune multipliée par k. Le produit de deux grandeurs multipliées par k est multiplié par k × k = k². Un carré de côté doublé (k = 2) voit donc son aire multipliée par 4, jamais par 2.
Le raisonnement en k, k² et k³ s'applique-t-il à toutes les figures ?
Oui, à condition que l'agrandissement soit homothétique, c'est-à-dire que toutes les dimensions soient multipliées par le même rapport k. Il s'applique aussi bien à un cercle, un triangle, un cube ou une pyramide, quelle que soit leur forme initiale.
Comment retrouver rapidement les formules d'aires et de volumes usuels ?
En les associant à une image mentale simple : le rectangle (longueur × largeur) sert de base à tout, le triangle en est la moitié, le cercle se retient avec π, et les volumes s'obtiennent presque toujours en multipliant une aire de base par une hauteur, sauf pour la sphère.
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Franck Attelan
Spécialiste du TAGE MAGE, auteur de La Bible du TAGE MAGE – 25 ans d'accompagnement des candidats.
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