L'essentiel en 30 secondes
- Une moyenne pondérée se calcule par Σ(valeur × poids) / Σ(poids), poids étant un effectif ou un coefficient.
- La moyenne des moyennes est fausse si les effectifs des groupes diffèrent.
- La moyenne globale est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande des valeurs moyennées.
- Un coefficient joue exactement le rôle d'un effectif dans le calcul.
Ce cours approfondit le sous-test 2 – Calcul. Retrouvez toutes les notions dans le répertoire des cours du TAGE MAGE, puis appliquez le parcours de remise à niveau en mathématiques.
Le cours
1. Définir la moyenne pondérée
La moyenne pondérée d'un ensemble de valeurs v₁, v₂, …, vₙ affectées de poids p₁, p₂, …, pₙ se calcule par la formule M = (v₁p₁ + v₂p₂ + … + vₙpₙ) / (p₁ + p₂ + … + pₙ). Chaque valeur compte proportionnellement à son poids : plus le poids est élevé, plus la valeur associée influence le résultat final. Lorsque tous les poids sont égaux, cette formule redonne la moyenne arithmétique simple.
Le poids peut être un effectif (nombre de personnes, de produits, d'observations) ou un coefficient (importance relative attribuée à une épreuve, une note, un critère). Dans les deux cas, le calcul est rigoureusement identique : seule change l'interprétation du poids.
2. Reconstituer une moyenne globale à partir de sous-groupes
Quand une population se divise en plusieurs groupes de moyennes et d'effectifs connus, la moyenne globale se calcule en pondérant chaque moyenne de groupe par son effectif. Si un groupe de 20 élèves a une moyenne de 12 et un second groupe de 30 élèves une moyenne de 15, la moyenne globale n'est pas (12 + 15) / 2 = 13,5, mais (20×12 + 30×15) / 50 = (240 + 450) / 50 = 13,8.
Cette différence s'explique par le poids du groupe le plus nombreux : le groupe de 30 élèves pèse davantage dans la moyenne globale que le groupe de 20, ce qui rapproche le résultat de 15 plus que de 12.
3. Le piège classique de la moyenne des moyennes
Faire la moyenne arithmétique simple de plusieurs moyennes n'est valide que si tous les groupes ont le même effectif. Dès que les effectifs diffèrent, cette moyenne des moyennes s'écarte de la vraie moyenne globale, et l'écart peut être considérable si les effectifs sont très déséquilibrés. Le TAGE MAGE exploite systématiquement cette confusion en proposant, parmi les distracteurs, le résultat de la moyenne simple des moyennes de groupe.
4. Retrouver un effectif ou une valeur inconnue
Lorsque la moyenne globale est donnée mais qu'un effectif ou une valeur manque, on pose l'équation Σ(vᵢpᵢ) = M × Σpᵢ et on isole l'inconnue. Cette méthode transforme un problème de moyennes en une simple équation du premier degré, à condition d'avoir bien identifié tous les termes connus.
La méthode pas à pas
- Repérez si les valeurs à moyenner ont des poids différents (effectifs, coefficients).
- Écrivez chaque couple (valeur, poids) clairement avant tout calcul.
- Calculez le numérateur Σ(valeur × poids) et le dénominateur Σ(poids) séparément.
- Divisez le numérateur par le dénominateur pour obtenir la moyenne pondérée.
- Vérifiez que le résultat est bien compris entre le minimum et le maximum des valeurs.
Trois QCM corrigés
Traitez chaque question en 75 secondes maximum, sans calculatrice, avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1
Un candidat obtient 14 en mathématiques (coefficient 3) et 8 en anglais (coefficient 1). Quelle est sa moyenne pondérée ?
- A. 10
- B. 11
- C. 11,5
- D. 12,5
- E. 13
Voir la correction détaillée
Réponse : D. La moyenne pondérée vaut (14×3 + 8×1) / (3+1) = (42+8)/4 = 50/4 = 12,5.
La proposition A (10) correspond à une moyenne simple pondérée à l'envers. La proposition B (11) résulte d'une moyenne arithmétique simple (14+8)/2 = 11, en ignorant les coefficients. La proposition C (11,5) ne correspond à aucun calcul cohérent. La proposition E (13) surestime le poids de la note d'anglais.
Exercice 2
Un groupe A de 25 salariés a un salaire moyen de 2 000 €, un groupe B de 15 salariés a un salaire moyen de 2 800 €. Quel est le salaire moyen de l'ensemble des 40 salariés ?
- A. 2 300 €
- B. 2 350 €
- C. 2 400 €
- D. 2 450 €
- E. 2 500 €
Voir la correction détaillée
Réponse : A. La moyenne globale vaut (25×2000 + 15×2800) / 40 = (50 000 + 42 000) / 40 = 92 000 / 40 = 2 300 €.
La proposition C (2 400 €) correspond à la moyenne arithmétique simple (2000+2800)/2 = 2 400, en ignorant les effectifs différents des deux groupes – c'est précisément le piège de la moyenne des moyennes. Les propositions B, D et E ne correspondent à aucun calcul pondéré correct.
Exercice 3
La moyenne d'une classe de 30 élèves est de 11. Un groupe de 10 élèves de cette classe a une moyenne de 8. Quelle est la moyenne des 20 élèves restants ?
- A. 11,5
- B. 12
- C. 12,5
- D. 13
- E. 13,5
Voir la correction détaillée
Réponse : C. La somme totale des notes vaut 30×11 = 330. La somme des 10 élèves du groupe vaut 10×8 = 80. La somme des 20 élèves restants vaut donc 330 − 80 = 250, soit une moyenne de 250/20 = 12,5.
La proposition A (11,5) sous-estime l'écart nécessaire pour compenser le groupe faible. La proposition B (12) correspond à une soustraction d'effectifs erronée. Les propositions D et E surestiment la moyenne du second groupe en oubliant de diviser par le bon effectif restant (20 et non 30 ou 10).
Les pièges fréquents
- Faire la moyenne simple de plusieurs moyennes de groupes. Cela ne fonctionne que si les effectifs sont égaux.
- Oublier un groupe dans le calcul du total. Toujours vérifier que la somme des effectifs partiels égale l'effectif total annoncé.
- Confondre coefficient et valeur. Le coefficient multiplie la note, il ne s'additionne jamais à elle.
- Diviser par le nombre de groupes au lieu de la somme des poids. Le dénominateur est toujours la somme des effectifs ou des coefficients.
- Accepter un résultat hors des bornes. Une moyenne pondérée ne peut jamais dépasser la valeur maximale ni descendre sous la valeur minimale.
Mémo des formules
| Situation | Formule | Conditions |
|---|---|---|
| Moyenne pondérée | M = Σ(vᵢ × pᵢ) / Σpᵢ | pᵢ > 0, poids = effectif ou coefficient |
| Moyenne globale de deux groupes | M = (n₁m₁ + n₂m₂) / (n₁ + n₂) | n₁, n₂ effectifs réels des groupes |
| Effectif inconnu | n₂ = n₁(m₁ − M) / (M − m₂) | M strictement entre m₁ et m₂ |
| Somme totale | S = M × n | n est l'effectif total |
Mini-plan d'entraînement
- Jour 1 (15 min). Dix moyennes pondérées à deux valeurs, coefficients variés, calculées de tête.
- Jour 2 (15 min). Cinq reconstitutions de moyenne globale à partir de deux groupes d'effectifs différents.
- Jour 3 (15 min). Cinq problèmes où il faut retrouver un effectif ou une valeur manquante par équation.
- Jour 4 (20 min). Un test mêlant les trois types de questions, chronométré à 75 secondes chacune.
Questions fréquentes
Peut-on faire la moyenne de plusieurs moyennes déjà calculées ?
Non, sauf si les effectifs de chaque groupe sont strictement identiques. Faire la moyenne arithmétique simple de plusieurs moyennes de groupes d'effectifs différents donne un résultat faux : il faut repondérer chaque moyenne par son effectif.
Comment retrouver un effectif manquant à partir d'une moyenne globale ?
En posant l'équation de la moyenne pondérée avec l'effectif inconnu comme variable, puis en résolvant. La moyenne globale multipliée par l'effectif total doit toujours être égale à la somme des sous-totaux de chaque groupe.
Un coefficient joue-t-il le même rôle qu'un effectif ?
Oui, mathématiquement : dans une moyenne pondérée, coefficient et effectif jouent exactement le même rôle de poids. Une note affectée d'un coefficient 3 compte comme si elle apparaissait trois fois dans la moyenne.
Pourquoi la moyenne pondérée est-elle toujours comprise entre le minimum et le maximum des valeurs ?
Parce qu'elle est une combinaison linéaire des valeurs avec des poids positifs qui somment à 1 : elle ne peut donc jamais dépasser la plus grande valeur ni descendre sous la plus petite, quel que soit le poids attribué à chacune.
Poursuivre avec
Fractions, proportions et partages
Manipuler des fractions sans calculatrice, passer d'un rapport à une proportion, répartir une quantité.
Pourcentages et variations successives
Coefficients multiplicateurs, variations successives, taux inverse et différence entre pourcentage et point.
Vitesses, distances et temps
Conversions d'unités, problèmes de rencontre et de rattrapage, vitesse moyenne sur un aller-retour.
Conférences gratuites Aurlom
Les conférences gratuites Aurlom reviennent en direct sur les pièges classiques des moyennes pondérées, avec un mini test blanc chronométré.
- Aurlom × SKEMA – Mardi 10 novembre 2026, 18h00 → 20h00 · SKEMA Business School
- Aurlom × AUDENCIA – Jeudi 12 novembre 2026, 18h00 → 20h00 · Audencia Business School
- Aurlom × KEDGE – Lundi 16 novembre 2026, 18h00 → 20h00 · KEDGE Business School
Franck Attelan
Spécialiste du TAGE MAGE, auteur de La Bible du TAGE MAGE – 25 ans d'accompagnement des candidats.
Mis à jour le